La matematica per guardare dentro la Terra

Supponiamo di essere di fronte ad un misterioso oggetto X e di volerne conoscere il contenuto senza però aprirlo. Impossibile? No, secondo alcuni matematici dell’Università di Stanford (California), in California, che hanno risolto uno spinoso problema geometrico che risponde proprio a questa domanda. Per conoscere la struttura interna del nostro oggetto misterioso sarà sufficiente sapere quanto velocemente delle onde si spostano tra due punti qualsiasi della sua superficie. L’analisi, pubblicata su arXiv, troverà applicazioni pratiche soprattutto in geofisica, disciplina che studia l’interno della Terra utilizzando proprio delle onde sismiche.

 

Guardare dentro ma senza aprire 

Il problema matematico risolto dagli scienziati americani rientra nella geometria riemanniana, cioè quella branca della geometria moderna che si occupa di superfici curve con un numero qualsiasi di dimensioni. Padre di questo ramo della geometria fu Bernhard Riemann, matematico tedesco allievo di Gauss, che intorno alla metà del 1800 estese le nozioni sulle curve bidimensionali elaborate dal suo maestro a spazi con un numero qualsiasi di dimensioni. Riemann dimostrò, ad esempio, che servono sei numeri per descrivere la curvatura in un punto qualsiasi di uno spazio tridimensionale, mentre ne servono venti se le dimensioni salgono a quattro. L’insieme di questo numeri, che in ogni punto dello spazio ne descrive la curvatura, viene chiamato tensore di curvatura di Riemann, e lo stesso Einstein ne utilizzò i concetti di base per formulare la sua teoria della relatività. Ora, sulla base dei postulati di Riemann, gli scienziati erano già in grado di determinare la distanza più breve tra due punti, conoscendo in che modo uno spazio varia la propria curvatura. Tuttavia, non era lo stesso per il contrario. Com’è possibile determinare la curvatura di uno spazio conoscendo la distanza minima tra due punti sulla sua superficie? I tre autori dello studio sono stati in grado di rispondere proprio a questa domanda per la prima volta per spazi con tre o più dimensioni. Per tornare all’esempio del nostro oggetto misterioso X, quindi, sarà possibile conoscere la curvatura dello spazio al suo interno – e quindi il suo contenuto – calcolando la distanza di coppie di punti sulla sua superficie sulla base del tempo impiegato da delle onde per raggiungerli.

 

Bernhard Riemann e la sua sfera, un particolare esempio di una superficie teorizzata dal matematico tedesco (Immagine: Wikipedia)

Più dettagli sull’interno della Terra

Una delle applicazioni più ovvie della risoluzione di questo problema riguarderà lo studio della struttura interna della Terra, considerata come l’oggetto misterioso X, sulla base dell’analisi delle onde sismiche che viaggiano attraverso i gusci interni del Pianeta in seguito ad attività vulcaniche, terremoti o altri impulsi di energia. La velocità di queste onde dipende dalle proprietà dello strato interno alla Terra che si trovano ad attraversare e per questo le traiettorie che percorrono sono curve piuttosto che lineari. Grazie ai dati sulla velocità di queste onde raccolti dalle stazioni sismiche (che nel modello matematico rappresentano i due punti sulla superficie dell’oggetto misterioso) sarà possibile ricostruire la struttura interna della Terra, strato dopo strato. Il modello matematico non apporterà cambiamenti drastici alle conoscenze che già abbiamo sulla struttura interna della Terra, precisano gli scienziati, ma potrà aiutare a capire meglio alcuni fenomeni, come i pennacchi del mantello che si trovano al di sotto di Islanda e Hawaii, e magari a scoprire di nuovi.

 

Immagine box di apertura: Wikipedia 

Immagine banner in evidenza: Public Domain Pictures

 

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