Lucertole matematiche

Galileo Galilei scrisse nel suo arguto trattato Il Saggiatore, del 1623, che “il grandissimo libro della natura è scritto in lingua matematica“. E non potrebbe essere più vero per le lucertole ocellate (Timon lepidus), grandi sauri che vivono lungo le coste dell’Europa sud-occidentale (in Italia sono presenti solo nella Riviera ligure di Ponente). Per spiegare la colorazione delle squame di questi rettili, servono le formule e le equazioni di ben due illustri matematici: Alan Turing e John von Neumann.

Lo rivela, sulla rivista Nature, un team multidisciplinare di biologi, fisici e informatici guidati da Michel Milinkovitch, professore presso il Dipartimento di Genetica ed Evoluzione della Facoltà di Scienze dell’Università di Ginevra e capo del SIB, l’Istituto Svizzero di Bioinformatica.

La lucertola ocellata è il sauro più grande osservabile in Italia. Unico rappresentante del genere Timon, può superare i 60 cm di lunghezza e il mezzo chilo di peso (immagine: flickr)

 

Biologia matematica

Nei vertebrati, dal pesce pagliaccio al leopardo, la colorazione della pelle dipende da interazioni microscopiche tra le cellule pigmentate che seguono le equazioni formulate nel 1952 dal matematico britannico Alan Turing, famoso per essere riuscito a decodificare i codici della macchina Enigma dei nazisti. Aula di scienze ne aveva parlato, a proposito del mantello a strisce delle zebre, in due news, La matematica delle strisce e Se Turing ha a che fare con le zebre.

Le lucertole ocellate, però, sfuggono a questa regola. Diventando adulte, trasformano lentamente il meccanismo di colorazione descritto da Turing in un sistema computazionale ideato nel 1948 da un altro grande matematico, John von Neumann. Ungherese di nascita, fu costretto a emigrare negli stati Uniti per sfuggire alla persecuzione degli ebrei. Tra i suoi maggiori contributi ricordiamo le macchine dotate di memoria, capaci di memorizzare istruzioni e antesignane dei moderni computer.

 

Squame mutevoli

Dalle teorie di computazione deriva la sua idea di automa cellulare, una griglia di elementi i cui stati si ripetono secondo una serie di regole basate sugli stati degli elementi vicini. Gli elementi sono chiamati “cellule“, ma non rappresentano cellule biologiche.

Nel caso delle lucertole ocellate, per esempio, corrispondono a singole squame della pelle. Gli individui più giovani sono marroni, ma negli anni successivi le loro squame cambiano colore, creando disegni labirintici in verde e nero. In pratica, ogni squama diventa verde, o nera, in base alla colorazione delle squame adiacenti.

La colorazione verde o nera delle squame negli adulti della lucertola ocellata crea complessi disegni labirintici, che seguono le regole matematiche dell’automa cellulare descritto da John von Neumann. La colorazione dei giovani, invece, tipicamente marrone con numerose maculature (figura in alto), segue le equazioni di un altro matematico, Alan Turing (immagini: UNIGE)

 

Le simulazioni al computer

Per scoprire come si formano questi disegni, i ricercatori hanno analizzato le dinamiche di pigmentazione della pelle delle lucertole per quattro anni del loro sviluppo. Quindi hanno ricostruito la geometria e il colore della rete di squame utilizzando un sistema robotizzato ad altissima risoluzione sviluppato in precedenza nel laboratorio di Milinkovitch. Le simulazioni al computer basate sulla regola matematica di von Neumann hanno generato modelli di colore identici a quelli delle lucertole reali.

Ma come possono le interazioni tra le cellule di pigmento, descritte dalle equazioni di Turing, generare un automa cellulare di von Neumann perfettamente sovrapponibile alle squame della pelle? I ricercatori hanno trovato una spiegazione.

La pelle delle lucertole non è piatta: è molto più spessa al centro delle squame e molto più sottile ai loro margini. Dato che il meccanismo di Turing comporta movimenti di cellule, o la diffusione dei segnali da esse prodotti, la variazione dello spessore della pelle potrebbe interferire con la distribuzione prevista dal modello. Le simulazioni al computer confermano questa ipotesi.

Sezioni istologiche di squame di colore diverso che mostrano una diversa distribuzione dei melanofori, le cellule che contengono melanina (immagine: Nature)

 

Un ponte biologico tra Turing e von Neumann

La biologia quindi, per la prima volta, collega i lavori molto diversi dei due geni matematici. Per formalizzare questo legame, però, Milinkovitch ha incaricato il matematico Stanislav Smirnov, professore presso l’Università di Ginevra e vincitore nel 2010 della medaglia Fields (il Nobel della matematica), di elaborare una cosiddetta discretizzazione delle equazioni di Turing.

Le equazioni di Smirnov, inserite nelle simulazioni, hanno prodotto i risultati previsti dall’automa cellulare di von Neumann. Sebbene in natura siano stati descritti diversi fenomeni che rispondono in parte a questo modello, dalle dune alla colorazione del mantello dei mammiferi, ai disegni sulla conchiglia dei molluschi gasteropodi del genere Conus, questo è il primo vero caso di automa cellulare 2D osservato in un essere vivente.

Una bella prova del fatto che gli automi cellulari non sono semplici sistemi di calcolo astratti, ma possono corrispondere direttamente ai processi generati dall’evoluzione biologica. Ma è anche la dimostrazione di quanto sia importante ed efficace la sinergia di competenze fra diversi campi del sapere, in questo caso biologia, fisica, matematica e informatica.

 

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