Da elementi visuali al calcolo letterale

Introdurre il calcolo letterale partendo da elementi visuali è stata la sfida raccolta dal californiano Fawn Nguyen, insegnante di matematica, che sul sito Visual Patterns pubblica materiali (inviati anche da altri docenti in rete) per lezioni propedeutiche all’algebra.

Questi materiali sono di fatto le riproduzioni dei primi tre elementi di vari pattern, cioè di schemi geometrici ricorrenti o iterativi come quelli mostrati dal disegno 1 e dal disegno 2, che l’insegnante fornisce agli studenti insieme a relative schede di lavoro.

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Disegno 1

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Disegno 2

Nelle schede si chiede agli studenti di disegnare la figura attesa al quarto passo iterativo, di compilare una tabella con il numero di unità costitutive il disegno (sia ai primi passi che ad alcuni passi avanzati quali il 13.mo o 29.mo passo) e di descrivere con parole proprie o con un rapido schizzo, come potrebbe apparire lo schema a tali passi. Infine, obiettivo principe dell’attività, si chiede agli studenti di scrivere un’espressione (ma si può parlare direttamente di funzione) che metta in relazione il numero di unità con il numero di passi.

tabella1

Tabella 1

Terminato il lavoro, gli studenti descrivono le soluzioni da loro ottenute ai compagni, scoprendo, non di rado, che le espressioni trovate per una stessa sequenza di pattern sono diverse. Per esempio, ecco un elenco di soluzioni equivalenti per il disegno 2 trovate da alcuni gruppi di studenti:

  • 2n(n + 1) + 3
  • 1 + (n2 + n2) + (n + 1) + (n + 1)
  • 2[n(n +1)] + 3
  • 2n(n + 1) + 3
  • 3 + [(n + 1)n] + [(n + 1)n]
  • 3 + 2(n + 1) + 2[(n + 1)(n – 1)]
  • 2n2 + 2n + 3

Inoltre, si può chiedere agli studenti di motivare le espressioni ottenute con altrettante immagini geometriche, come nel caso del disegno 3, esprimibile per differenza di aree come (n+2)2 -n2, ma anche nei diversi modi della tabella 2.

disegno 3

Disegno 3

tabella2Tabella 2

Nella parte finale della lezione il docente lavora con gli studenti per mostrare che le formule ottenute, se corrette, sono tutte equivalenti tra loro, come è possibile evidenziare attraverso l’uso della proprietà distributiva e di passaggi di semplificazione (non necessariamente teorizzati precedentemente).
Il tutto avviene in una situazione didattica in cui gli studenti sentono tali passaggi come necessari e significativi per il lavoro appena concluso e finiscono per riconoscere l’importanza e la potenza della manipolazione simbolica, magari accompagnata dalla rappresentazione grafica delle funzioni ottenute.

Il sito lanciato da Fawn Nguyen è Visual Patterns: http://www.visualpatterns.org/. Vi contribuiscono diversi insegnanti anglofoni.

Sul Disegno 3, vedi in particolare: http://fawnnguyen.com/2012/09/04/20120904.aspx sul sito di Fawn Nguyen.

Come estendere questo approccio a questioni algebriche più avanzate?
L’approccio proposto è adattabile a questioni algebriche più avanzate come l’introduzione alle funzioni lineari e quadratiche. Henri Picciotto, per esempio, propone di lavorare su “treni” di pattern, richiedendo agli studenti di calcolare il perimetro P (o l’area) delle figure proposte in funzione dei blocchi n costitutivi.

disegno4

Disegno 4

Nel caso dei perimetri dei “treni” riportati nel disegno 4, per esempio, si trova la generica formula lineare P = mn + b (per il pattern dei parallelogrammi risulta P = 2n + 2) e la si può rappresentare graficamente esaminando la variazione dei coefficienti m e b al variare dei blocchi.

Per un approfondimento sui “treni” di pattern, a questo indirizzo si trova il documento completo proposto da Henri Picciotto tratto dal sito Math Education Page.

In che modo si possono rendere i materiali più interattivi e multimediali?
Questa è la domanda che, insieme agli apprezzamenti, è rimbalzata in rete tra i docenti di matematica che hanno sperimentato la proposta di Fawn Nguyen. Un primo metodo è quello di utilizzare animazioni automatiche che riproducano la costruzione dinamica di pattern (vedi Snake tratto da Geogebratube).

snake

 

Un approccio più interessante sembra essere quello proposto da Dan Meyer nel video seguente:

Nel video, Dan Meyer riproduce un pattern che cresce al crescere del tempo, raggiungendo via via il contorno del rettangolo rosso che lo contiene. Un timer scandisce lo scorrere dei secondi a sottolineare il fattore tempo che Meyer considera essere il vero valore aggiunto dell’uso del media nell’approccio al problema. Infatti, la domanda che Dan Meyer si aspetta nasca dalla visione del filmato è la seguente: «a che istante il pattern raggiungerà o supererà il contorno del rettangolo che lo contiene?» oppure «quale sarà il colore della prima unità a toccare il contorno rettangolare?». In questo modo Meyer vorrebbe stimolare negli studenti la capacità di formulare le domande, di fornire stime delle possibili soluzioni e di richiedere eventuali dati non esplicitati, utili a risolvere il problema (in questo caso la dimensione del rettangolo).

L’approccio proposto è sicuramente interessante nell’ambito di una didattica per competenze centrata sul problem solving, sul ragionamento per prove e errori, sulle capacità comunicative e collaborative degli studenti. È interessante rileggere in tale ottica alcuni principi base degli Standards per la Pratica Matematica descritti dai Common Core State Standars, quali:

  1. Dar un senso ai problemi e perseverare nel risolverli
  2. Ragionare in forma astratta e quantitativa
  3. Costruire argomentazioni
  4. Puntare alla precisione
  5. Ricercare la struttura
  6. Usare ragionamenti iterati

In conclusione ci piace immaginare che, per tale attività, si potrà presto fare uso di pattern relativi a immagini fotografiche particolarmente ispiratrici, come quelle sui “pattern nella natura” pubblicate sul sito del National Geographic.

Sul sito di Dan Meyer si può trovare tutta la sua trattazione (e i relativi video) per i Pixel Pattern: http://threeacts.mrmeyer.com/pixelpattern/. Potete anche seguire il suo blog: http://blog.mrmeyer.com/

Per gli Starndard per la Pratica Matematica, si possono trovare informazioni ulteriori su questo sito internet: corestandards.org

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Commenti [12]

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  1. buono maria cira

    L’editoria zanichelli è in assoluto la migliore nel settore scientifico. è esaustiva e affronta tutte le problematiche anche con alunni DSA

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  2. Silvia Casini

    Il materiale è molto interessante e sopratutto stimolante per una didattica innovativa.Lo userò sicuramente.
    Grazie

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  3. Francesca Giorgetti

    Dany, molto interessante il tuo articolo.
    Leggendolo, mi sono venuti in mente sia l’esercizio n.5 del TIMMS (The IEA Third International Mathematics and Science Study) V04A , di cui allego il link , relativo alla somma dei primi numeri naturali che l’attività di M@tbel relativa ai numeri figurati.
    http://share.pdfonline.com/10d27953370d4ac9a8860bf405289e1b/2_Number%20Patterns%20and%20Sequences.htm
    The figures show four sets consistings of circles
    a) Complete the table
    Figure 1 2 3 4 5
    Nr of circles 1 3

    b) The sequence of figures is extended to the 7th figure. How many circles would be needed for Figure 7?
    c) The 50 th figure in the sequence contains 1275 circles. Determine the number of circles in the 51 st figure. Without drawing the 51 st figure, explain or show how you arrived at your answer

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    • dany maknouz

      Grazie Francesca per aver postato il link all’esercizio TIMM e per la segnalazione; devo proprio alla tua segnalazione dell’esercizio, tempo fa, l’interesse per questo argomento!
      L’approccio della docente americana parte dalla ricerca della formula, ma aggiunge diverse questione didattiche interessanti per l’esposizione dei risultati, il loro confronto e la loro semplicazione.

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  4. Gaetano Speranza

    Introdurre il calcolo letterale partendo dalla visualizzazione
    è un valido metodo anche in senso più classico,
    recuperando l’Archimede che è in Cartesio:

    Algebra umanistica: recuperare cartesianamente l’idea archimedea
    Coscrivere la matematica
    informatematica
    indice di informatematica

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    • dany maknouz

      Grazie per i link e gli articoli segnalati, molto interessanti e ricchi di spunti.
      Mi sono iscritta al gruppo Facebook Informatematica e dedichero’ del tempo a navigare con calma le risorse segnalate!
      Alla prossima!

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  5. Aurora Mangiarotti

    Cara Dany, i tuoi interventi come sempre interessanti e molto ricchi di spunti di riflessione.
    La proposta didattica integra perfettamente differenti registri (visivo-grafico, numerico, algebrico), richiede di formulare congetture e pone gli studenti di fronte a sfide stimolanti di problem solving.
    Queste attività, nella logica della matematica per scoperta di Prodi, si prestano al lavoro di gruppo e permettono di creare una sorta di competizione costruttiva all’interno della classe. Le leggi, che i ragazzi scoprono, sono il risultato di congetture e, come tu mostri, possono essere differenti nella forma, ma equivalenti e sono l’occasione di dare un senso alle varie proprietà studiate (associativa, distributiva ecc.)
    Il continuo passaggio dal registro grafico, a quello numerico e a quello algebrico aiuta lo studente ad essere flessibile e a scegliere nella propria “cassetta degli attrezzi” gli strumenti più utili che la matematica mette a disposizione per quel tipo di problema.
    Il passo successivo è la costruzione di funzioni legate alla variazione del numero di elementi. Grazie alle tecnologie sono possibili analisi di grafici di funzioni anche complesse per rispondere a questioni e fare valutazioni
    Anch’io, come fa Francesca, che saluto, voglio citare un esempio: dalle prove Pisa rilasciate segnalo il problema dei meli: http://www.invalsi.it/invalsi/rn/odis/doc/Compendio_prove.pdf
    ecco il testo:
    “Un agricoltore pianta dei meli in modo da formare un quadrato. Per proteggere questi alberi
    dal vento, pianta delle conifere intorno al frutteto.
    Qui sotto puoi vedere uno schema che rappresenta la disposizione dei meli e delle conifere
    per un numero qualsiasi (n) di filari di meli: (seguono i pattern)”
    Le richieste di difficoltà crescente :
    1) compilare una tabella con il numero di meli e di conifere (una congettura)
    2) assegnata la legge di variazione del numero di meli e del numero di conifere al variare dei filari n, trovare quando il numero di mele uguaglia quello delle conifere (utilizzo registro grafico e capacità di risolvere una equazione di secondo grado)
    3) effettuare un’analisi della variazione del numero di meli rispetto al numero di conifere al crescere dei filari
    Come vedi, siamo proprio nella direzione tracciata dal tuo articolo
    Grazie per gli spunti e la chiarezza
    Aurora

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  6. Giancarlo Zilio

    Ma carino ed interessante davvero!!!
    … E certamente tale da suscitare la curiosità dei ragazzi, stimolandoli a far lavorare la fantasia e a confrontarsi in modo attivo e sorridente con i compagni!
    Grazie mille, cara Dany!
    Certo, il “fattore tempo”, “che Meyer considera essere il vero valore aggiunto dell’uso del media nell’approccio al problema”, è probabilmente, da un altro punto di vista, ciò che potrà rendere un po’ arduo il compito dell’insegnante desideroso di proporre queste idee e questi materiali in classe.
    Fin quando i programmi di matematica da svolgere nelle scuole medie superiori italiane non saranno meglio specificati (così da non essere più una vaga indicazione di fare “di tutto e di più”, ma piuttosto un elenco dettagliato di argomenti, livelli di apprendimento e competenze da sviluppare), il lavoro del prof rimarrà una corsa snervante contro il passare inesorabile delle ore.
    E invece i nostri ragazzi avrebbero bisogno di apprendere senza frenesia, con calma e con gioia.
    Per portare un giorno la serenità, il buon senso e il buonumore anche nella società che li attende all’esterno, questo nonsense di competitività, ingiustizia, oltraggi alla natura, indifferenza verso il bene comune.
    Yes I know that I’m a dreamer. Hope I’m not the only one.

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    • dany maknouz

      Grazie Giancarlo il tuo apprezzamento mi fa davvero piacere vista la stima che ho per http://www.chihapauradellamatematica.org
      Sul tempo didattico la penso come te ‘you are not the only one’! Sulla carta le Indicazioni Nazionali ci consentono di fare scelte nuove meno omnicomprensive, ma finchè non cambia l’impostazione dell’eds, il margine di manovra dei docenti resta basso. Staremo a vedere…

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