I frattali: matematica, arte e scienza

I frattali fanno ormai parte dell’esperienza comune. È facile imbattersi su internet in immagini belle e colorate come per esempio questa:

O questa:


Oltre a essere figure gradevoli alla vista e affascinanti, i frattali sono prima di tutto oggetti matematici, e come tali si possono studiare: come si ammira meglio un quadro di Klimt dopo aver compreso il suo stile e la sua tecnica, così anche la bellezza di un frattale si può apprezzare di più se si conoscono le sue caratteristiche e le sue proprietà.

 

Come nasce un frattale?

Per capire che cos’è un frattale dal punto di vista matematico, conviene iniziare da un caso concreto.

Si parte da un semplice segmento e lo si divide in tre segmenti di uguale lunghezza.


Come primo passo si toglie il segmento centrale e al suo posto si disegnano altri due segmenti sempre della stessa lunghezza, disposti in modo da formare un angolo di 60 gradi.

Adesso si prende un triangolo equilatero e si fa la stessa operazione su ognuno dei suoi lati. Si ottiene una stella a sei punte, composta da 12 segmenti.

A questo punto il procedimento è innescato: bisogna ripeterlo su ognuno dei 12 nuovi segmenti. E così via: a ogni iterazione (cioè ripetizione) del procedimento si ottiene una figura via via più frastagliata.


Ora, per avere un frattale, bisogna considerare la figura ottenuta dopo n iterazioni e passare al limite (come si dice in matematica) per n che tende a infinito. Intuitivamente, si può immaginare il risultato finale – cioè il frattale – come la figura ottenuta “dopo infinite iterazioni” (per figura si intende il contorno, non l’interno).

Ecco il procedimento in movimento (immagine: wikipedia.org)

Questo particolare frattale è uno dei più semplici da costruire e si chiama “fiocco di neve di Koch” (dalla sua forma e dal nome del matematico svedese Niels Helge von Koch, che ebbe per primo l’idea di base nel 1904).

 

Che cos’è un frattale?

Dal procedimento appena visto si può intuire che il fiocco di neve ha una proprietà speciale: se si prende una sua parte (per esempio quella nel rettangolo rosso) e la si ingrandisce, il disegno che si ottiene è lo stesso dell’originale.

E anche ingrandendola di nuovo, e così via, in uno zoom vertiginoso.

 

Ecco lo zoom in movimento (immagine: wikipedia.org)

Questa proprietà, chiamata “autosimilarità”, è quella che caratterizza i frattali.

Come abbiamo visto con il fiocco di neve, un frattale è una figura ottenuta con un passaggio al limite; tutti i passaggi prima di arrivare al frattale sono chiamati prefrattali.

Dato che ovviamente non si possono eseguire nella pratica infinite iterazioni, un frattale si può sempre e solo concepire, immaginare e studiare matematicamente, ma mai rappresentare: tutte le bellissime immagini che si vedono in rete o nei poster sono, a rigor di termini, prefrattali. Per chi guarda comunque fa poca differenza: se il numero di iterazioni è abbastanza alto, il risultato grafico sarà a occhio poco distinguibile da quello che sarebbe un vero frattale. Con la differenza che, se se si fa uno zoom progressivo di un “frattale” al computer, prima o poi ci si ferma, mentre in un frattale vero non ci si fermerebbe mai (nello zoom riprodotto in movimento nella figura qui sopra c’è il trucco: non è ottenuto con lo zoom di un’immagine, ma con una serie di immagini realizzate in modo da dare l’impressione di uno zoom continuo).

 

Perché si chiamano frattali?

Il nome “frattale” si riferisce a una proprietà meno appariscente rispetto all’autosimilarità, ma molto interessante da un punto di vista matematico: i frattali hanno una dimensione fratta, cioè non intera.

Qui è necessario un brevissimo excursus.

Noi vediamo attorno a noi un mondo fisico tridimensionale, ma esistono oggetti matematici che hanno un numero di dimensioni diverso: 4, o 27, o 142.857, o anche infinito, a seconda dei casi. In altre parole i matematici, come fanno sempre, hanno generalizzato il concetto di dimensione, slegandolo dal contesto quotidiano e visibile. Naturalmente, per un oggetto concreto, la dimensione matematica coincide con quella fisica.

Una generalizzazione ancora più sorprendente è la cosiddetta dimensione di Hausdorff (dal nome del matematico tedesco Felix Hausdorff, che la definì nel 1918): per estendere la possibilità di attribuire una dimensione anche a oggetti che sfuggono alla definizione abituale, contempla come possibile numero di dimensioni non solo i numeri naturali, ma anche i numeri reali positivi. Così possono esistere teoricamente strani enti geometrici di dimensione 3/5, oppure π, eccetera. Anche in questo caso, per oggetti a dimensione intera, la dimensione di Hausdorff coincide con la dimensione nell’accezione ordinaria. Così la dimensione di Hausdorff di una curva è 1, quella di una superficie è 2 e quella di una figura solida è 3.

In generale, la dimensione di Hausdorff di un frattale è appunto una frazione. Per esempio la dimensione del fiocco di neve – sempre intendendo il contorno – è pari a ln4/ln3 = 1,261859… (qui il simbolo «ln» si riferisce al logaritmo naturale, cioè in base e). Il fiocco di neve quindi, pur essendo ottenuto come limite di una successione di prefrattali ognuno di dimensione 1, ha dimensione di Hausdorff maggiore di 1.

Questo è legato a un’altra proprietà sorprendente dei frattali: qualsiasi tratto di contorno ha una lunghezza infinita (intuitivamente lo si può immaginare notando che fra un punto e un altro ci sono infiniti segmenti, che si vedono man mano che si fa lo zoom della figura).

La superficie racchiusa da un frattale invece ha sempre dimensione 2, e la sua area è finita. Per esempio, se il triangolo iniziale ha il lato pari a 1, il fiocco di neve può essere contenuto all’interno di un cerchio di raggio 1, e dunque la sua area è minore di π.

Di conseguenza ci troviamo di fronte a una figura con area finita e perimetro di lunghezza infinita. Questo implica che il rapporto fra area e perimetro è uguale a 0, o equivalentemente, che il rapporto fra perimetro e area è uguale a infinito.

 

I frattali hanno una storia antica?

I frattali sono un argomento relativamente recente della geometria: non c’è niente di simile né nella matematica greca, né nelle innovazioni dei grandi matematici europei moderni del Seicento e Settecento.

Qualche vago precedente inconsapevole però si può ritrovare in alcune strutture artistiche e architettoniche africane e asiatiche, in cui si possono individuare ripetizioni di uno stesso motivo geometrico con qualche accenno di autosimilarità: per esempio nelle località di Ba-Ila (Zambia), Logone-Birni e Mokoulek (Camerun) o, più alla lontana, nell’antica tecnica indiana dei disegni kolam.

Se vuoi approfondire il rapporto tra frattali e architettura africana, puoi leggere questo documento oppure questo. Puoi approfondire qui invece il legame tra frattali e struttura dei villaggi indiani.

I primi studi sui frattali in senso matematico sono quelli del tedesco Karl Weierstraß, nel 1872; in seguito le ricerche sono state portate avanti, fra gli altri, dall’italiano Giuseppe Peano e, nel Novecento, dal polacco Wacław Sierpiński e dal francese Gaston Julia, oltre che da Koch e Hausdorff. A partire degli anni Sessanta si può parlare di una branca chiamata geometria frattale, grazie all’opera di matematici come il francese Benoît Mandelbrot (che nel 1975 ha anche coniato il termine “frattale”).

Da allora il settore ha conosciuto importanti sviluppi e numerose generalizzazioni, fra cui per esempio i multifrattali (oggetti molto più complicati) e i frattali solidi (chiamati impropriamente “frattali 3D”): come la dimensione dei frattali piani è compresa fra 1 e 2, così quella dei frattali solidi è compresa fra 2 e 3. Per esempio la “Spugna di Menger” ha dimensione pari a log 20/log 3 = 2,726833…

La Spugna di Menger (immagine: wikipedia.org)

Oggi la geometria frattale gode di un notevole successo, anche per le sue applicazioni in campo scientifico e artistico.

 

Quali sono le applicazioni nella scienza?

I frattali si sono dimostrati sorprendentemente utili nello studio di oggetti fisici particolarmente frastagliati.

L’esempio classico è quello delle coste: come si misura la lunghezza di un tratto di litorale? Usando una carta geografica è relativamente facile, anche nel caso di coste dai contorni irregolari, ma se si vuole aumentare la precisione bisogna passare a carte via via più dettagliate. E più si ingrandisce la scala, più le coste si mostrano frastagliate, con dettagli prima invisibili, un po’ come succede con un frattale.

Il Regno Unito: un esempio di costa “frattale” (immagine: wikipedia.org)

Altri esempi di oggetti che hanno un’analogia con i frattali sono le nuvole, i ghiacciai, certi vegetali (per esempio i broccoli, le felci e i rami degli alberi), gli alveoli polmonari e molti altri ancora.

Un broccolo “frattale” (wikipedia.org)

Ovviamente una costa, una nuvola o un broccolo non sono frattali nel senso matematico: manca una perfetta regolarità e l’ingrandimento non può proseguire all’infinito; tuttavia i frattali (o più precisamente i prefrattali) possono in molti casi approssimare la forma di questi oggetti meglio rispetto alla geometria tradizionale.

 

Quali sono le applicazioni dei frattali nell’arte e nella società?

Per la loro bellezza, i frattali hanno suscitato grande interesse estetico oltre che scientifico: è addirittura nato un filone chiamato “arte frattale”. Per realizzare un’opera di arte frattale basta avere a disposizione un computer e un apposito software: si stabiliscono i parametri matematici e il programma disegna il frattale, che poi l’artista/programmatore colora a piacimento (sempre al computer). L’arte frattale è stata usata anche al cinema: per esempio per la realizzazione delle tempeste di neve nel cartone animato Frozen, il cui enorme successo mondiale è dovuto in parte anche alla sua spettacolarità visiva.

Se vuoi approfondire come funziona la matematica delle animazioni digitali puoi leggere questo articolo di Dany Maknouz.


Il concetto di frattale ha ispirato anche le arti non figurative
. Lo scrittore americano David Foster Wallace ha dichiarato di aver concepito la struttura originaria del suo romanzo Infinite Jest in analogia a un particolare frattale, il triangolo di Sierpiński.

Il triangolo di Sierpiński (immagine: wikipedia.org)

Anche se a rigor di termini l’associazione di idee è azzardata, l’affermazione ha comunque un fondamento: nel romanzo gli eventi vengono spesso accennati, poi ripresi e raccontati ripetutamente in momenti successivi, ogni volta descritti con più informazioni e particolari, come i dettagli di un frattale che si mostrano via via che si fa uno zoom sull’immagine.

Con un po’ più di fantasia, uno studio recente dell’Istituto di fisica nucleare dell’Accademia polacca sostiene di aver riscontrato proprietà legate ai frattali, in termini di lunghezza delle frasi, in molti altri capolavori della letteratura europea: da Balzac a Dickens, da Joyce a Eco, i grandi romanzieri sarebbero creatori di strutture frattali a loro insaputa.

Con l’arrivo di Internet, da un lato è diventato facilissimo reperire immagini di arte frattale; dall’altro sono nati anche siti web che permettono a chiunque di realizzare un frattale.
Ci sono anche associazioni specializzate, come la Fractal Foundation, che fra le altre attività produce e vende capi di abbigliamento con decorazioni a frattale e addirittura organizza gare di frattali destinate agli studenti.

 

immagine in evidenza: Shuttersock.com
immagine in homepage: wikipedia.org

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