Immaginare il Pi greco

Riuscite a immaginare il Pi greco e le sue interminabili cifre decimali non periodiche?

Non è semplice. È lo sforzo vano della mente nel tentativo di rappresentare l’infinito.
Per secoli i matematici hanno sperato di trovare una definizione finita per questa costante, rapporto tra la lunghezza e il diametro di una circonferenza, e di ottenerla come frazione tra numeri interi o, equivalentemente, di trovare una periodicità nelle sue cifre.
Ma Lambert, nel 1760, chiude a ogni speranza e dimostra che Pi greco è irrazionale.
Non possiamo sperare di contenerlo nello spazio del finito e dell’umano.

Così come non possiamo trovarlo sotto forma di radicale o di soluzione di un’equazione algebrica.  È quanto scopre Lindemann nel 1882 siglando l’impossibilità di ottenere la quadratura del cerchio con i metodi classici di costruzione con riga e compasso.

Nell’ipotesi che le infinite cifre decimali di Pi greco siano del tutto casuali o aleatorie, siamo potenzialmente in grado di trovare ogni specifica sequenza di cifre al suo interno. La nostra data di nascita o il nostro codice postale e, convertendo le lettere nelle loro posizioni all’interno dell’alfabeto, il nostro nome, la nostra poesia preferita, o la parola “amore” in inglese,  data dalle cifre “12-15-22-5”, che appare per la prima volta alla cifra 13.099.586 e infinite volte dopo.

Potete provarci voi stessi, andando alla ricerca di una sequenza numerica a vostra scelta, clliccando qui. Troverete in quale posizione è collocata alla sua prima occorrenza e da quali altre cifre è contornata.

 

Come possiamo visualizzare il Pi greco?

Per aiutarci a visualizzare il Pi greco possiamo ricorrere alla sequenza delle sue cifre note che attualmente arrivano a più di 2.000.000.000.000.000 (2 x 1015  ben 2 trilioni) .
Ci possiamo fare un’idea di quanto sia “interminabile” il loro elenco anche scorrendo solo il primo milione di cifre . Stampate nel 1973  in un libro di Jean Guillod e Matine Bouuyer (definito da qualcuno “il libro più noioso del mondo”), queste occupavano da sole ben 415 pagine.

Oppure possiamo ricorrere alla nuova arte di visualizzazione dei dati utilizzata da Martin Krzywinski, bioinformatico al Genome Center in Canada, per realizzare immagini colorate delle cifre del Pi greco e tradurre così la vertigine dell’infinito numerico “in emozioni visuali”.

Ecco allora un trittico dai lavori del 2013 aventi per tema i punti o cerchi colorati:

In questa prima immagine ad ogni cifra decimale del Pi greco viene associato un colore (3,141… diventa la sequenza iniziale giallo scuro, rosso, giallo acceso e rosso …) (immagine: Martin Krzywinski)

Potrebbe aver attirato la vostra attenzione la sequenza in basso a destra di sei cerchi viola, un’occorrenza curiosa e insolita corrispondente alla successione di sei 9 consecutivi presente in Pi greco a partire dalla posizione 762 . Eccola riportata sotto:

3,
1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273 7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094 3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548 0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912 9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798 6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132 0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872 1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235 4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960 5187072113 4999999837 …

Questa sequenza prende il nome di Feynman Point (o punto di Feynman) perché pare che il noto fisico desiderasse riuscire a memorizzare le cifre fino a quel punto per poterle scandire, in qualche esibizione matematica: «nove, nove, nove, nove, nove, nove…» e concludere «… e cosi via!», dando scherzosamente l’impressione che il numero da lì in poi diventasse periodico.

  

Nell’immagine a sinistra i cerchi colorati rappresentano la distribuzione di frequenza di ogni cifra in un gruppo di sei fino al Punto di Feynman. Per ogni cerchio, la larghezza di ogni anello è proporzionale al numero di volte che una certa cifra appare nel raggruppamento. Infine nell’immagine a destra l’autore congiunge i cerchi adiacenti dello stesso colore ottenendo un grafo disconnesso.

Potete creare la vostra immagine personalizzata del Pi greco attraverso la visualizzazione interattiva che trovate cliccando questa pagina: cliccando sui cerchi si generano le connessioni a grafo, mentre cliccando sul simbolo di doppia freccia posto in alto, si possono scegliere il numero di righe e di colonne, impostare il raggio e la distanza tra i cerchi. E ovviamente salvare il tutto in formato immagine!

Le sperimentazioni visuali di Martin Krzywinski si sono sviluppate in forme nuove anno dopo anno e vale la pena esplorarle tutte nel suo sito (dove si trova anche il suo lavoro più recente in cui alle cifre di Pi greco viene associato un valore di massa, in onore della recente rilevazione delle onde gravitazionali) o su iniziative simili di altri autori. Le immagini più suggestive restano le due sotto, prodotte nel 2014, in cui le cifre successive del Pi greco vengono collegate da linee colorate (dal 3 all’1, dall’1 al 4 e cosi via) secondo un procedimento grafico riprodotto in questo video).

Nell’immagine qui sotto, accanto alle cifre (grigie e poco visibili) all’esterno del cerchio sono riportati in due anelli separati i punti colorati corrispondenti alla cifra di partenza e a quella di arrivo di ogni momento della sequenza. I punti diventano cerchi più ampi in caso di cifre ricorrenti, come avviene in alto con i due cerchi viola più ampi caratterizzanti il punto di Feynam.

Passando dalle arti grafiche a quelle musicali possiamo aiutarci a rappresentare e ricordare le cifre di Pi greco con una composizione al pianoforte.

C’è una relazione tra Pi greco e l’insieme frattale di Mandelbrot?

Nel 1991 David Bool scopre una relazione fino allora impensabile tra il Pi greco e l’insieme di Mandelbrot. Si tratta più di una verifica informatica che di una vera e propria dimostrazione, ma resta comunque un elemento di grande fascino.


Immagine dell’insieme (o frattale) di Mandelbrot (immagine: wikipedia)

L’insieme di Mandelbrot, immagine simbolo della teoria dei frattali, è costruito all’interno del piano complesso di Argand – Gauss. Per rappresentarlo si procede costruendo per ogni punto w = a+ib, di coordinate (a, b), una successione di valori iterati:
z1= w,
zn+1=zn2+ w

Sviluppando i calcoli, può succedere che dopo un certo numero di iterazioni il punto ottenuto esca dal contorno stabilito della figura (il cerchio critico con centro nell’origine e raggio 2). In tal caso il punto viene segnato di nero (o del colore associato al numero di iterazioni di uscita) e contribuisce al disegno dell’insieme di Mandelbrot. Diversamente se dopo un numero limite prefissato di iterazioni il punto non “esce” dal cerchio critico, lo si lascia bianco e non contribuisce al disegno.

Vediamo ora cosa succede se il valore considerato si trova nel punto che abbiamo indicato con A, all’estremo orizzontale o “collo” dell’insieme di Mandelbrot. Tale punto ha coordinate (0,25, 0). Più ci allontaniamo dal punto, più sarà rapida la sua evasione dal cerchio; ma più ci avviciniamo ad A, più ci aspettiamo che il numero di iterazioni richieste perché il punto esca dal cerchio critico si facciano alte. Sviluppando i calcoli per i punti sull’asse orizzontale in prossimità di A troviamo la seguente tabella di valori:

 w numero di iterazioni di ‘evasione dal cerchio critico’
 A + 0.1  (0.26,0) 30
A + 0.001 (0.2501.0) 315
A + 0.00001 (0.250001,0) 3140

Il numero di iterazioni di “evasione” dal cerchio critico, inserendo una virgola dopo la prima cifra 3, converge molto lentamente al valore di Pi greco! E questo, come nota Boll, avviene anche per un altro punto ‘di confine’ dell’insieme di Mandelbrot, quello di coordinate (-0,75, 0). Riuscite a trovarlo nella figura?

Come si usano i polinomi di Taylor per il calcolo di Pi greco?

La formule matematiche usate per calcolare Pi greco sono state tante nella storia della matematica e qui trovate un elenco completo.  Alcune di queste appaiono inefficaci perché “convergenti molto lentamente”, altre sono sorprendenti, come la recente formula BBP (dal nome degli ideatori Bailey-Borwein-Plouffe), di fatto un algoritmo di “estrazione”, che permette di trovare una cifra di Pi greco (in rappresentazione binaria o esadecimale) senza conoscere quelle precedenti.

Ma le formule più belle restano quelle legate alla rappresentazione delle funzioni goniometriche attraverso i polinomi di Taylor. Questi permettono di approssimare “localmente” una funzione in un punto attraverso un polinomio che abbia gli stessi valori della funzione e delle sue derivate successive nel punto.

Nel nostro caso possiamo considerare lo sviluppo in serie di Taylor di artang(x) e calcolarne il valore in 1 per ottenere pi/4. Provate a spostare il punto nero dello slider k per visualizzare come varia il polinomio al variare di k!

In realtà la formula:

era stata trovata anni prima dell’ideazione dei polinomi di Taylor da Gregory, che la scrisse partendo dalla serie geometrica, sostituendo xal posto di -q e integrando.


Che cosa ha a che fare Pi greco con la poesia o la letteratura?

Intorno al Pi greco sono state scritte molte poesie, spesso finalizzate alla memorizzazione delle cifre del numero. Altre volte al Pi greco sono stati dedicati brevi brani letterari come quello che riportiamo qui sotto, tratto da Il Pendolo di Foucalt di Umberto Eco.

«Io sapevo – ma chiunque avrebbe dovuto avvertire nell’incanto di quel placido respiro – che il periodo [del pendolo n.d.r.] era regolato dal rapporto tra la radice quadrata della lunghezza del filo e quel numero Pi-greco che, irrazionale alle menti sublunari, per divina ragione, lega necessariamente la circonferenza al diametro di tutti i possibili cerchi – così che il tempo di quel vagare di una sfera dall’uno all’altro polo era effetto di una arcana cospirazione tra le più intemporali delle misure, l’unità del punto di sospensione, la dualità di una astratta dimensione, la natura ternaria di Pi greco, il tetragono segreto della radice, la perfezione del cerchio».

Tra immagini, musica, insiemi frattali, polinomi, formule e parole d’autore… Riuscite ora a immaginare il Pi greco?

Per la lezione

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