Quello che i matematici ancora non sanno

Parigi, 8 agosto 1900. Durante il secondo Congresso internazionale dei matematici, il tedesco David Hilbert tiene una conferenza storica, intitolata “Sui problemi futuri della matematica”, in cui ricapitola i 23 problemi aperti secondo lui più importanti da affrontare nel Ventesimo secolo. Da allora, alcuni di questi sono stati risolti (del tutto o parzialmente), altri sono considerati oggi enunciati troppo vaghi per poter stabilire se sono stati risolti, mentre di altri è stato dimostrato che non si possono risolvere. Restano poi quelli ancora aperti. Ma al di là della lista di Hilbert, i problemi aperti in matematica sono innumerevoli. Di seguito presentiamo alcuni dei più noti e interessanti; per ognuno di essi sono state proposte molte soluzioni, ma nessuna corretta e completa.

 

Che cos’è la congettura di Goldbach?

Un teorema comprende un enunciato e una dimostrazione. Se la dimostrazione non c’è, ma chi formula l’enunciato ritiene che sia vero, allora non si parla di teorema, ma di congettura. Nel giugno 1742, uno scambio epistolare fra il matematico tedesco Christian Goldbach e lo svizzero Eulero li portò a formulare quella che oggi è nota come congettura di Goldbach (chiamata anche, più raramente ma più precisamente, di Goldbach-Eulero).

A quanto risulta nessuno dei due si cimentò con la dimostrazione, e lo stesso Eulero l’ascrisse implicitamente al rango di congettura, dichiarando nella lettera di risposta a Goldbach di considerarla «un teorema del tutto vero, sebbene io non sappia dimostrarlo». Nella versione di Eulero si può enunciare così: ogni numero pari (tranne il 2) può essere scritto come somma di due numeri primi.

Per esempio:

4 = 2 + 2

6 = 3 + 3

8 = 3 + 5

10 = 3 + 7

48 = 17 + 31

E così via. Come si nota dagli esempi, i due numeri primi possono essere anche uguali fra loro. Inoltre la scomposizione non è necessariamente unica: per esempio 24 = 13 + 11 = 17 + 7.

La congettura è stata verificata al computer per tutti i numeri fino a 1018 senza trovare controesempi, ma nessuno ha ancora trovato una dimostrazione: nonostante un enunciato relativamente semplice, il problema è estremamente arduo. Nel 1921, durante un convegno a Copenaghen, il matematico inglese Godfrey Hardy lo definì «non solo uno dei problemi più complicati in teoria dei numeri, ma anche per l’intera matematica».
Tanto che lo scrittore e divulgatore greco-australiano Apostolos Doxiadis nel 2000 ha scritto un romanzo intitolato Zio Petros e la congettura di Goldbach, in cui il protagonista è un matematico che decide di dedicare la propria vita a risolvere la congettura di Goldbach.
I numerosi tentativi dei matematici hanno comunque prodotto qualche risultato notevole, anche se parziale. Nel 1995 il francese Olivier Ramaré ha dimostrato che ogni numero pari maggiore di 2 è al massimo la somma di sei numeri primi, e nel 2013 il peruviano Harald Helfgott ha abbassato la cifra necessaria a quattro numeri primi.

A quanto pare siamo sulla buona strada, ma non possiamo sapere se mai si arriverà a due numeri primi e, in caso affermativo, quanto tempo ci vorrà.

Se vuoi entrare entrare più nel dettaglio e approfondire la congettura di Goldbach, guarda questo video (in inglese):

Quanti sono i numeri primi gemelli?

I numeri primi sono infiniti: questo lo sappiamo da tempi remoti, addirittura grazie a Euclide. Le cose diventano più complicate se ci concentriamo su determinate categorie di numeri primi.

Un caso classico è quello dei numeri primi gemelli: sono chiamati così quelli la cui differenza è 2: le prime coppie sono 3 e 5, 5 e 7, 11 e 13, 17 e 19. Non tutti i numeri primi hanno un gemello. Anzi, la maggior parte non ce l’ha. Prendiamo per esempio il 23: i suoi possibili candidati sono 21 e 25, ma nessuno dei due è primo.

La sequenza delle prime coppie di numeri gemelli (immagine: Wolfram)

Oggi sappiamo che più i numeri diventano grandi, più diminuisce la probabilità di trovare numeri primi, e a maggior ragione di trovare coppie gemelle. Ma ancora non sappiamo se le coppie gemelle sono infinite o no: molti matematici ritengono di sì, ma non è ancora stata trovata una dimostrazione. Come nel caso della congettura di Goldbach, anche per quanto riguarda i primi gemelli sono stati fatti importanti passi avanti.

Il problema più generale è: dato un numero naturale n, esistono infinite coppie di numeri primi tali che la loro differenza sia minore o uguale di n?

Nel caso n = 2 il problema è appunto la congettura dei numeri primi gemelli. Finora il problema è stato risolto solo per numeri maggiori di 2. Il primo risultato importante, dovuto al sino-americano Yitang Zhang, è stata, nel 2013, la dimostrazione per n = 70.000.000 (70 milioni): esistono infinite coppie di numeri primi tali che la differenza fra i due numeri è minore di 70 milioni. Può sembrare un numero enorme, ma è un numero finito, questo è il punto. Nello stesso anno l’inglese James Maynard ha risolto il problema per n = 600, e un gruppo di ricerca collaborativo su questo argomento, chiamato Polymath8 e lanciato da Terence Tao, uno dei maggiori matematici viventi, ha abbassato la cifra (per ora) a n = 246. Siamo ancora lontani da n = 2, ma i progressi sono stati finora rapidissimi.

 

Si arriva sempre a 1?

Nel 1937 il matematico tedesco Lothar Collatz pensò a una sequenza così definita: si parte da un numero naturale qualsiasi; se è pari lo si divide per 2, e se è dispari lo si moltiplica per 3 e si aggiunge 1. Si continua così, fino ad arrivare a 1. Per esempio, partendo da 24, si ottiene la successione di passi:

24 : 2 = 12

12 : 2 = 6

6 : 2 = 3

3 · 3 + 1 = 10

10 : 2 = 5

5 · 3 + 1 = 16

16 : 2 = 8

8 : 2 = 4

4 : 2 = 2

2 : 2 = 1

La rapidità con cui si arriva a 1 non dipende dalla grandezza del numero di partenza: per esempio, da 10.000 si arriva a 1 in appena 29 passi, contro i 111 passi necessari partendo da 27 (la successione arriva fino a 9232, prima di scendere fino a 1).

Ma il punto è: si arriva sempre a 1, da qualsiasi numero si parte? Collatz pensava di sì, e con lui la maggior parte dei matematici, ma nessuno è ancora riuscito a dimostrarlo. Anzi: l’ungherese Pál Erdős, uno dei più grandi matematici del Novecento, ha affermato una volta che «la matematica non è ancora pronta per questi problemi».

Come nel caso della congettura di Goldbach, anche qui la verifica al computer ha dato esito affermativo per tutti i numeri fino a 18 cifre, cioè dell’ordine dei miliardi di miliardi.

In questo video (in inglese) puoi saperne di più sulla congettura di Collatz:

 

La perfezione è pari?

Si chiamano “numeri perfetti” quelli che sono uguali alla somma dei propri divisori. Per esempio 6 è perfetto, perché i suoi divisori sono 1, 2 e 3, e 1 + 2 + 3 = 6. Anche 28 è perfetto, perché ha come divisori 1, 2, 4, 7 e 14, e 1 + 2 + 4 + 7 +14 = 28.

Un primo problema aperto riguarda la quantità di numeri perfetti: non è noto se sono finiti o infiniti. Il secondo è più curioso: tutti i numeri perfetti conosciuti sono pari. Anche se non c’è niente in teoria che impedisca l’esistenza di numeri perfetti dispari, non se ne conosce nessuno, e si pensa generalmente che non esistano. Se però esistono, devono essere molto grandi: maggiori di 101500. Devono cioè essere numeri con più di 1500 cifre.

Sarebbe certo strano se, dopo così tanti numeri, sbucasse improvvisamente un numero perfetto dispari. Ma finché non c’è la prova non si può mai sapere. In diversi casi è successo che una congettura sia stata confutata solo con numeri piuttosto grandi. Nel 1919 il matematico ungherese György Pólya aveva ipotizzato che, dato un qualunque numero naturale n, almeno metà dei numeri minori di n hanno un numero dispari di divisori. Per esempio, prendendo n = 8, l’enunciato è vero perché 1, 2, 3, 5 e 7 (cioè cinque dei sette numeri minori di 8) hanno un solo divisore, mentre 4 e 6 hanno due divisori (nel caso del 4 il divisore 2 si conta due volte). E lo stesso vale per tutti i numeri su cui i matematici avevano fatto la verifica. Nel 1958 però l’inglese Colin Brian Haselgrove dimostrò (indirettamente, cioè senza controesempi) che la congettura era falsa; il più piccolo numero che non la verifica, trovato nel 1980 dal giapponese Minoru Tanaka, è n = 906.150.257. Insomma, non ci si può fidare dei singoli casi, per quanto numerosi: per confermare o confutare una congettura abbiamo bisogno di una dimostrazione generale.

 

C’è sempre un quadrato?

Anche in geometria sono innumerevoli i problemi aperti: per esempio la congettura di Toeplitz, formulata nel 1911 dal matematico tedesco Otto Toeplitz. Disegniamo una curva chiusa senza mai ripassare da uno stesso punto (la curva cioè non deve mai intersecarsi). Per esempio questa:

 

La domanda è: si può trovare un quadrato i cui vertici appartengono tutti a questa curva? In questo caso particolare ce n’è almeno uno:

 

Ma in generale? È possibile farlo per tutte le curve chiuse e senza intersezioni? Per alcune categorie particolari di curve la risposta è evidente (per esempio per le circonferenze).

Ancora manca però la dimostrazione che l’enunciato sia vero sempre.

 

Qual è il problema aperto più importante?

Nel maggio del 2000, un secolo dopo la conferenza di Hilbert, il Clay Mathematics Institute (CMI) americano ha proposto una nuova lista: stavolta i problemi, chiamati “Problemi del Millennio” sono solo sette. In compenso, per la soluzione di ciascuno di essi ha messo in palio un milione di dollari.

Finora solo uno dei sette problemi è stato risolto: la congettura di Poincaré è stata dimostrata nel 2002 dal matematico russo Grigorij Perel’man, che però, con una delle sue stranezze da “cliché dei matematici”, ha rifiutato il premio.

L’unico problema presente sia nella lista di Hilbert sia in quella del CMI è l’ipotesi di Riemann, una congettura che riguarda una particolare funzione complessa, e che se fosse vera implicherebbe una stima sulla distribuzione dei numeri primi, cioè sulla frequenza con cui capitano nell’insieme dei numeri naturali. L’inclusione in entrambe le liste sembra avvalorare l’idea di molti matematici secondo cui è questo il problema aperto più importante.

 

Il manoscritto dell’ipotesi di Riemann (immagine: claymath.org)

Indipendentemente dalle classifiche (e dai premi), la ricchezza e la profondità dei problemi aperti confermano che la matematica non è e non sarà mai costituita da un certo numero di teoremi definito una volta per tutte: è un insieme di conoscenze in continua espansione, dove ogni nuovo risultato si aggiunge a quelli già noti. E questo è uno dei motivi della sua bellezza.

Qui puoi scaricare un video per approfondire l’ipotesi di Riemann.

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