Questo è il terzo post di Claudio Romeni dedicato alla lettura dei dati della pandemia. Il primo riguardava il calcolo dei nuovi contagi del giorno precedente e il secondo la velocità del contagio. (Revisione critica di Marco Giusiano).
Il totale dei positivi è l’integrale dei nuovi positivi e i nuovi positivi sono la derivata del totale dei positivi
Come abbiamo visto nel post precedente, il totale dei casi N(t) si ottiene dai nuovi positivi giornalieri n(t) facendo una somma. Vediamo ora come possiamo ottenere N(t) a partire dal grafico di n(t). Per semplicità, rappresentiamo i dati relativi ai nuovi positivi nei primi 5 giorni di rilevamento mediante un istogramma, in cui le classi hanno la stessa ampiezza di 1 giorno:
I casi totali in un dato giorno (per esempio, il primo) sono
N(1) = n(1)*(1 giorno) = (221 casi/giorno)*(1 giorno)= 221 casi
Notiamo che N(1) è l'area della barra rettangolare di altezza (221 casi/giorno) e base 1 giorno. I casi totali registrati nei primi 2 giorni sono dati dalla somma delle aree delle prime due barre:N(2) = n(1)*(1 giorno) + n(2)*(1 giorno) =
= (221 casi/giorno)*(1 giorno)+(93 casi/giorno)*(1 giorno) = 314 casi.
In generale:
il numero totale di casi nei primi k giorni è dato dall'area complessiva delle barre corrispondenti ai giorni in esame (cioè ai giorni dal giorno 1 al giorno k).
Riprendendo anche quanto visto nel post precedente, abbiamo individuato due proprietà che legano n(t) (numero dei nuovi casi giornalieri) e N(t) (numero dei casi complessivi).- il numero di casi totali registrati fino al giorno t, N(t), è l’area individuata dal grafico di n(t) tra il giorno 0 e il giorno t
- il numero di nuovi positivi al giorno t, n(t), è la pendenza del grafico di N(t) nel giorno t
il numero di casi totali registrati fino al giorno T è l'integrale definito dei nuovi positivi calcolato fra t = 0 e t = T
In realtà non possiamo procedere in modo così diretto, perché n(t) e N(t) sono funzioni definite nell’insieme dei numeri naturali N e non nell’insieme dei numeri reali R, e quindi non possiamo pensare di applicare i concetti di funzione continua, derivata e integrale.
Possiamo però superare l’ostacolo considerando che la variabile t vari nell’insieme dei numeri reali R (e non dei numeri naturali N) e cercando una funzione c(t) continua e derivabile che approssimi n(t). L’integrale di questa funzione c(t) fra t = 0 e t = T approssimerà il numero totale dei positivi al giorno T.
Una funzione continua che approssima i nuovi positivi
Il grafico della funzione continua e derivabile c(t) deve seguire il più possibile l'andamento del grafico dei nuovi positivi n(t), riproducendone l'evoluzione nel tempo. Inoltre la sua espressione analitica dovrebbe essere abbastanza semplice, in modo che il calcolo della derivata e dell'integrale non risultino troppo laboriosi. Scegliamo di limitarci a descrivere i primi 150 giorni dell’epidemia, cioè di fare variare la variabile reale t in , e prendiamo come funzione
la funzione
Il numero c di nuovi positivi è espresso in casi/giorno. Quindi
- l'unità di misura del fattore 40 è casi/giorno3, in modo che il prodotto (40 casi/giorno3)(t giorni)2 si esprima in casi/giorno;
- l'unità di misura del denominatore 15 che compare all’esponente è giorni, in modo che l'argomento dell'esponenziale sia un numero privo di dimensioni.
LETTURA DEL GRAFICO. Da n(t) a c(t)
- Il grafico di c(<emt) riproduce in modo approssimato l'andamento di n(t). Non può sostituirsi al grafico originale, ma ne coglie alcuni aspetti importanti.
- c(t) cresce rapidamente fino al valore massimo, raggiunto dopo circa 30 giorni dall'inizio dell'epidemia, poi decresce con minore rapidità e tende ad annullarsi.
- c(t) è una funzione reale di variabile reale ed è continua e derivabile in ogni punto, per cui ha senso calcolarne la derivata prima e l'integrale definito.
L’integrale dei nuovi positivi dei primi 150 giorni
Dopo aver sostituito l'insieme di punti discreto della funzione n(t) con la funzione continua c(t) vogliamo approssimare la funzione discreta N(t) del totale dei casi con una funzione continua C(t). Come abbiamo visto nel caso della funzione discreta dei nuovi positivi n(t), il numero totale di casi nei primi T giorni, N(T), è dato dalla somma delle aree delle barre corrispondenti ai giorni in esame. La stessa proprietà vale nel caso della funzione continua c(t), che approssima n(t) ed è maggiore o uguale a 0 per ogni t∈ [0,150]: il numero totale di casi C(T) nei primi T giorni è dato dall'area al di sotto del grafico della funzione c(t) dei nuovi positivi da 0 a T, cioè dall'area della regione di piano delimitata dall'asse orizzontale t, dalle rette verticali t = 0 e t = T e dal grafico di c(t). Per definizione tale area è data dall’integrale definito:
Pertanto:
il numero C(T) di casi totali registrati fino al giorno T è l'integrale definito dei nuovi positivi c(t) calcolato da 0 a T.
Per indicare il generico istante di tempo usiamo la variabile t, per cui chiamiamo t il secondo estremo dell’integrale precedente (considerato variabile), e scriviamo la funzione che esprime il totale dei casi al variare del tempo t come la funzione integrale:
Dato che conosciamo l’espressione analitica della funzione c(t) possiamo calcolare l’integrale e scrivere l’espressione analitica di C(t) nel modo seguente:
L'interpretazione geometrica mostrata nel grafico fa capire il legame tra le due nuove funzioni.
LETTURA DEL GRAFICO. Dai nuovi positivi c(t) al totale dei casi C(t)
Abbiamo dunque scoperto un legame fra c(t) e C(t). Ci aspettiamo che esista un legame fra il grafico di c(t) e quello di C(t), per cui tracciamo i due grafici uno sotto l'altro (le scale sugli assi verticali sono diverse).
- C(50) è un numero che esprime l'area delimitata dal grafico di c(t) tra t = 0 e t
- L’area C(t) è una funzione: al variare di t, estremo superiore dell'intervallo di integrazione, restituisce l'area delimitata dal grafico di c(t) nell’intervallo [0; t] e quindi il numero totale dei casi fino all'istante t.
- c(t) è per ipotesi una funzione continua derivabile, e anche C(t), essendo definita come una funzione integrale, è una funzione derivabile e quindi anche continua.
LETTURA DEL GRAFICO. Legami fra i grafici di c(t) e C(t)
L'epidemia può crescere in modi diversi:
- Quando c(t) cresce, da t = 0 a t = 30, C(t) cresce progressivamente sempre più, cioè il numero dei casi totali aumenta sempre più velocemente: l'epidemia accelera. Il grafico di C(t) ha la concavità verso l'alto.
- Mentre c(t) decresce, da t = 30 a t = 150, C(t) cresce progressivamente sempre meno, cioè il numero dei casi totali continua ad aumentare, ma sempre più lentamente: l'epidemia decelera. Il grafico di C(t) ha la concavità verso il basso.
- L'accelerazione dell'epidemia è nulla quando c(t) raggiunge il valore massimo, circa per t = 30. Il grafico di C(t) ha un flesso, cioè cambia concavità, nel punto con quell'ascissa.
- sempre più velocemente, quando la crescita in un giorno è sempre più grande della crescita del giorno prima. L’epidemia accelera e la concavità della curva del totale dei positivi è rivolta verso l’alto.
- sempre più lentamente, quando la crescita in un giorno è sempre più piccola della crescita del giorno prima. L’epidemia decelera e la concavità della curva del totale dei positivi è rivolta verso il basso.
La derivata del totale dei positivi dà i nuovi positivi
Torniamo all’immagine della scalinata discussa nel post sulla velocità dei contagi, dove il totale dei positivi è una scala e i nuovi positivi sono le altezze degli scalini, che danno la pendenza della scala. Per analogia, nel caso continuo possiamo immaginare che la curva del totale dei positivi sia una strada in salita e che i nuovi positivi siano la pendenza della strada. Conoscendo il profilo della strada, cioè la funzione C(t), siamo quindi in grado di ottenere l'andamento della pendenza della strada, cioè la funzione c(t). Infatti, da C(t) si può determinare c(t) calcolando una derivata, grazie al teorema fondamentale del calcolo integrale. Secondo questo teorema, poiché c(t) è una funzione continua in [0; 150], allora nello stesso intervallo esiste la derivata prima rispetto a t della sua funzione integrale
per ogni punto t dell'intervallo [0; 150], e tale derivata è uguale a c(t), cioè
C’(t) = c(t).
In altri termini:in ogni istante t, la funzione c(t) assume un valore che è uguale al coefficiente angolare della tangente alla curva C(t), cioè alla pendenza del grafico di C(t), in t.
La seguente tabella sintetizza i legami tra le funzioni c(t) e C(t) e i loro grafici.| Totale dei casi C(t) | Nuovi positivi c(t) | Relazione | Significato |
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Il totale dei casi al giorno t è l’integrale dei nuovi positivi dal giorno 0 al giorno t. | Il totale dei casi al giorno t è l’area al di sotto del grafico dei nuovi positivi nell’intervallo tra 0 e t. | |
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I nuovi positivi al giorno t sono la derivata del totale dei positivi al giorno t. | I nuovi positivi sono la pendenza (il coefficiente angolare) della tangente al grafico del totale dei casi |
LETTURA DEL GRAFICO. Legami fra i grafici di C(t) e c(t)
L'epidemia può crescere in modi diversi:
- Nell'intervallo [0; 30] C(t) è una funzione convessa, cioè il suo grafico rivolge la concavità verso l’alto e la sua pendenza cresce, quindi c(t) cresce. Nel diagramma con il grafico di C(t) sono evidenziati in verde due segmenti di tangente (con i rispettivi coefficienti angolari) al grafico di C(t) nei punti A e B, che hanno ascissa rispettivamente t = 7 e t = 30. I coefficienti angolari delle due tangenti, mA e mB, sono entrambi positivi e mB > mA.
- Per t = 30 il grafico di C(t) cambia concavità: prima la sua pendenza cresce, poi decresce. Quindi c(t) ha un punto di massimo relativo in t = 30.
- Per t > 30, C(t) è una funzione concava, cioè il suo grafico volge la concavità verso il basso e la sua pendenza diminuisce, quindi c(t) decresce. Nel diagramma è evidenziato in verde il segmento di tangente (con il suo coefficiente angolare) al grafico di C(t) nel punto C di ascissa t = 100. Il coefficiente angolare della tangente, mC, è ancora positivo, ma minore di mB.
- sempre più velocemente, quando la tangente alla curva del totale dei casi in un giorno è sempre più ripida della tangente del giorno prima. L’epidemia accelera e la curva c(t) dei nuovi positivi cresce.
- sempre più lentamente, quando la tangente alla curva del totale dei casi in un giorno è sempre meno ripida della tangente del giorno prima. L’epidemia decelera e la curva c(t) dei nuovi positivi decresce.
| Crescita dell’epidemia | Tangente al grafico di C(t) | c(t) | Area sotto c(t) |
| Accelera (aumenta sempre più) | Sempre più ripida | È crescente | Cresce ogni giorno di più |
| Decelera (aumenta sempre meno) | Sempre meno ripida | È decrescente | Cresce ogni giorno di meno |
| Crescita lineare (a ritmo costante) | Pendenza costante nel tempo | Rimane costante | Cresce ogni giorno con la stessa velocità |
| Nulla (crescita zero) | Orizzontale | Assume valori nulli | Rimane costante |
Un periodo di crescita esponenziale
Nel mese di ottobre 2020 il termine ricorrente nei mezzi d'informazione a proposito dell'epidemia era esponenziale. Nel senso comune questo aggettivo è indefinito, ma ha un marcato alone di pericolosità, in quanto evoca una crescita inarrestabile. In matematica, si chiama funzione esponenziale ogni funzione
tale che
Frequentemente utilizzata è la funzione esponenziale f(t) = et, dove e = 2,71828... è un particolare numero irrazionale, detto numero di Nepero. Fra le proprietà che caratterizzano questa funzione, ricordiamo le seguenti:
- et è una funzione strettamente crescente;
- det/dt, cioè la pendenza della curva di equazione y = et nel suo punto di ascissa t, è proprio et e quindi, poiché la funzione et è crescente, la pendenza aumenta sempre più all'aumentare di t.
LETTURA DEL GRAFICO. La crescita esponenziale dei nuovi positivi
La funzione esponenziale et ha un'altra proprietà fondamentale, che enunciamo per l'intervallo [a, t]:
- c2(t) è una funzione esponenziale e riproduce con ottima approssimazione l'andamento dei nuovi positivi: è corretto quindi affermare che la crescita dei nuovi positivi è esponenziale.
- La pendenza del grafico di c2(t) è positiva: i nuovi positivi aumentano nel tempo e c2(t) è una funzione strettamente crescente.
- La pendenza del grafico di c2(t) aumenta nel tempo: i nuovi positivi aumentano sempre più e c2(t) è una funzione convessa, o con concavità verso l’alto.
- le primitive della funzione esponenziale sono funzioni esponenziali:
cioè l'area delimitata dal grafico di et fra a e t cresce come et.
In altri termini: anche l'area al di sotto del grafico della funzione esponenziale cresce in modo esponenziale. Tutto questo è generalizzabile se, invece della funzione et consideriamo la funzione ekt, con k costante reale positiva.
Sappiamo che per calcolare i casi totali dobbiamo integrare la funzione che esprime il numero dei nuovi positivi. Dunque se la funzione integranda dei nuovi positivi è la funzione esponenziale c2(t) = 1945 e0,095t, anche la funzione che esprime il totale dei casi C2(t) è un'esponenziale. Infatti, posto c2(1) = 2138, abbiamo che il totale dei casi C2(t) (in questo caso calcolati a partire dal giorno 1 ottobre) è:
Visto l'andamento rapidamente crescente delle curve c2(t) e C2(t) nel mese di ottobre 2020, non solo è stato ragionevole ma è stato un atto di responsabilità sociale mettere in campo strategie di contenimento del contagio.
LETTURA DEL GRAFICO. La crescita esponenziale del totale dei casi
- C2(t) è una funzione esponenziale: il totale dei casi cresce esponenzialmente.
- Il totale dei casi aumenta nel tempo: questo non è legato all'andamento esponenziale, ma solo al fatto che il numero dei nuovi positivi è sempre maggiore di zero.
- Il totale dei positivi aumenta sempre più: anche C2(t) è una funzione convessa, o con concavità verso l’alto.
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