Maria ha un problema:

Un'asta omogenea di sezione trascurabile, lunghezza l e massa M = 9m può ruotare senza attrito su un piano orizzontale attorno a un perno coincidente con un suo estremo. L'asta è inizialmente in quiete. Un punto materiale di massa m, dotato di velocità v parallela al piano e perpendicolare all'asta colpisce quest'ultima nel suo punto di mezzo, rimbalzando con velocità v'=–v/3. Determinare:

1. Il momento di inerzia I dell'asta rispetto all'estremo imperniato al piano.
2. Il modulo ω della velocità angolare assunta dall'asta dopo l'urto.
3. L'energia totale del sistema dopo l'urto.
4. Stabilire infine se l'urto avvenuto è elastico o meno.

Ecco la mia risposta:

Il momento I è l'integrale da 0 a l del prodotto dell'elemento di massa dm dell'asta per il quadrato della sua distanza x dal perno. Se 9m/l è la densità lineare dell'asta, si ha dm = (9m/l)·dx e l'integrale vale I = (1/3)Ml² = 3ml².

Il punto materiale prima dell'impatto ha momento angolare, rispetto al perno, L_i = mv(l/2), mentre dopo l'impatto L_f = m(–v/3)(l/2), con una variazione ΔL = (–2/3)mvl. Poiché il sistema è isolato il momento angolare totale deve rimanere costante. Di conseguenza l'asta deve acquistare un momento angolare pari a (2/3)mvl.

Il momento angolare dell'asta è Iω. Ponendo Iω = (2/3)mvl, si ottiene ω = (2/9)v/l.

L'energia cinetica prima dell'urto è semplicemente K_i = (1/2)mv². Dopo l'urto è K_f = (1/2)m(–v/3)² + (1/2)Iω² = (1/18)mv² + (3/2)ml²[(2/9)(v/l)] = (7/54)mv². L'energia cinetica non si conserva, di conseguenza l'urto non è elastico.