Gianni propone un esercizio:

La mamma tira il bimbo seduto su una slitta in salita lungo un pendio che forma un angolo di 20° con il piano orizzontale. Sapendo che la slitta con il bambino ha una massa di 23 kg, che l'angolo tra la forza che la mamma esercita e il piano inclinato è 60° , calcola la forza esercitata dalla mamma per sollevare la slitta con velocità costante e il lavoro compiuto dalla forza peso. Se, arrivata in cima alla salita, la mamma lascia scivolare la slitta verso il basso determina la velocità finale con cui il bimbo arriva alla base del piano inclinato.

Ecco la mia risposta:

In tutto questo, quali ipotesi occorre fare sull'attrito fra la slitta e il suolo? Va bene che si parla di una slitta, ma perfino sulla neve c'è un certo attrito, e qui di neve non si parla affatto. Per non dire che io, se fossi la mamma, un bimbo giù per un piano senza attrito (come dovremo supporre che sia) non ce lo lascerei mai cadere...

La forza peso forma un angolo di 110° con lo spostamento della slitta lungo il piano inclinato. Il lavoro compiuto da questa forza è pertanto:
     W_peso = F·s·cos(110°) = mgs·cos(110°)
dove s è la lunghezza (incognita) del pendio. (Sospetto che non dovesse essere incognita. Ma Gianni non ha fornito questo dato.)

La forza F_m esercitata dalla madre deve equilibrare la risultante della forza peso e della reazione vincolare R del pendio, perché altrimenti la slitta si muoverebbe di moto accelerato. Proiettiamo le tre forze lungo un asse x diretto lungo il pendio, verso l'alto, e lungo un asse y diretto perpendicolarmente al primo. La componente y della somma delle tre forze vale:
     F_m·sin(60°) + R – mg·cos(20°) = 0
mentre la componente x vale:
     F_m·cos(60°) – mg·sin(20°) = 0.
Dalla seconda equazione ricaviamo F_m = mg·sin(20°)/cos(60°). Il lavoro compiuto da questa forza risulta:
     W_mamma = F_m·s·cos(60°) = mgs·sin(20°) = mgs·cos(70°) = –mgs·cos(110°)
dove si è fatto uso di un paio di comuni identità trigonometriche fra angoli complementari o supplementari.
Si vede che i due lavori sono uguali e opposti, come deve essere se l'energia cinetica della slitta non varia.

Se la slitta cade, la forza peso compie un lavoro uguale al precedente, ma questa volta positivo:
     W_peso = mgs·cos(70°).
L'energia cinetica acquistata K è uguale al lavoro svolto, e la velocità finale è data da √(2K/m).