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La sovrapposizione di due onde

Laura propone un esercizio: Due onde armoniche che hanno la stessa frequenza e la stessa ampiezza, si sovrappongono nello stesso punto. L'ampiezza dell'onda risultante è la metà dell'ampiezza di ciascuna delle due onde iniziali. Calcola lo sfasamento tra le due onde.
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Laura propone un esercizio: Due onde armoniche che hanno la stessa frequenza e la stessa ampiezza, si sovrappongono nello stesso punto.  L'ampiezza dell'onda risultante è la metà dell'ampiezza di ciascuna delle due onde iniziali. Calcola lo sfasamento tra le due onde. Ecco la mia risposta: Le due onde armoniche sono descritte dalle funzioni del tempo \(y_1=A\sin(\omega t)\) e \(y_2=A\sin(\omega t+\phi)\), dove \(\omega=2\pi f\) è la pulsazione (uguale per le due onde) e \(A\) è l'ampiezza (anch'essa uguale), mentre \(\phi\) è lo sfasamento. La formula trigonometrica per la somma di due funzioni sinusoidali è: \[\displaystyle \sin(\alpha) + \sin(\beta) = 2\sin\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)\] e applicandola al nostro caso otteniamo: \[\displaystyle y_2+y_1 = A\sin(\omega t+\phi) + A\sin(\omega t) = 2A\sin\left(\frac{2\omega t+\phi}{2}\right)\cos\left(\frac{\phi}{2}\right).\] Il termine centrale \(\displaystyle \sin\left(\omega t+\frac{\phi}{2}\right)\), l'unico a contenere l'istante \(t\), rappresenta un'onda armonica con la stessa frequenza delle onde incidenti e fase \(\phi/2\). L'ampiezza di quest'onda risultante è data dai fattori restanti, \(\displaystyle 2A\cos\left(\frac{\phi}{2}\right)\). Perché tale ampiezza risulti la metà dell'ampiezza \(A\) delle onde incidenti è necessario che: \[\displaystyle \cos\left(\frac{\phi}{2}\right) = \frac{1}{4}.\] Di conseguenza \(\displaystyle \phi=2\arccos\left(\frac{1}{4}\right)=151°\).

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