Carlo è in difficoltà:
Chiedo un ausilio nella risoluzione del problema seguente:
Un'onda sull'acqua ha la forma di un'onda armonica di ampiezza 1,40m.
Carlo è in difficoltà:
Chiedo un ausilio nella risoluzione del problema seguente:
Un'onda sull'acqua ha la forma di un'onda armonica di ampiezza 1,40 m. L'onda si propaga alla velocità di 1,88 m/s e presenta un periodo di 2,13 s. Considera la fase iniziale uguale a zero.
1. Calcola l'altezza dell'onda in un punto posto 40,0 cm a destra di una cresta dell'onda;
2. A quale distanza x dall'origine del sistema di riferimento scelto la quota y dell'onda sarà per la prima volta nulla?
3. Verifica i risultati ottenuti costruendo per punti il grafico y-x, dove y è la posizione verticale del punto rispetto alla quota di equilibrio e x indica la posizione lungo una corda.
Ecco la mia risposta:
Il profilo di un'onda armonica a un istante fissato ha la forma \(\displaystyle y=a\cos\left(\frac{2\pi}{\lambda}x+\phi_0\right)\), dove \(a\) è l'ampiezza, \(\lambda\) la lunghezza d'onda e \(\phi_0\) la fase iniziale. In base ai dati del problema, \(a = 1,40\,\rm m\) e \(\phi_0 = 0\), mentre dalla relazione \(\displaystyle v=\frac{\lambda}{T}\) si ricava \(\displaystyle\lambda=v\cdot T = 1,88\frac{\rm m}{\rm s}\cdot 2,13\,\rm s = 4,00\,\rm m\).
La richiesta sul sistema di riferimento non è chiarissima. Da una parte sembra affidarne la scelta allo studente, dall'altra chiede di specificare un valore ben definito. Il fatto che il testo nella parte teorica utilizzi sempre funzioni cosinusoidali per le onde armoniche suggerisce di scegliere l'origine del sistema di riferimento in corrispondenza di una cresta. Questo è coerente con l'indicazione di porre la fase iniziale pari a zero.
La risposta alla prima domanda è\[y(0,400\,\rm m) = 1,40\,\rm m \cdot \cos\left(\displaystyle\frac{2\pi}{4,00\,\rm m}\cdot 0,400\,\rm m\right)= 1,40\,\rm m \cdot \cos\left(\frac{\pi}{2}\cdot 0,400\right) = 1,13\,\rm m.\]
Per la seconda domanda occorre che l'argomento del coseno sia \(\displaystyle\frac{\pi}{2}\), quindi che \(x\) valga 1,00 m.
La terza domanda richiede che si tracci il grafico della funzione
\[ y(x) = 1,40\,\mathrm{m}\cdot \cos\left(\frac{2\pi}{4,00\,\mathrm{m}}\cdot x\right)\]
introducendo un fattore di scala che permetta di rappresentare su un normale foglio di carta una cosinusoide di ampiezza 1,40 m e estensione 4,00 m.
Lorenzo
29 settembre 2023 alle 07:53
Ok