Questo esercizio presuppone una precisione eccessiva:
Un righello di acciaio è tarato per misure a 20 °C. Un disegnatore lo utilizza a 40 °C per tracciare un segmento di 0,50 m su una lastra di rame a 40 °C.
Questo esercizio presuppone una precisione eccessiva:
Un righello di acciaio è tarato per misure a 20 °C. Un disegnatore lo utilizza a 40 °C per tracciare un segmento di 0,50 m su una lastra di rame a 40 °C. A che temperatura bisogna portare la lastra affinché la lunghezza della linea sia realmente 0,50 m?
Ecco la mia risposta:
La sola relazione necessaria è la legge della dilatazione termica lineare:\[\displaystyle l=l_0\cdot\left(1+\lambda\theta\right)\]dove \(\theta\) è la temperatura in gradi Celsius mentre \(\lambda\) è il coefficiente di dilatazione termica lineare, che vale \(\mathrm{12\cdot10^{-6}\,°C^{-1}}\) per l'acciaio e \(\mathrm{17\cdot10^{-6}\,°C^{-1}}\) per il rame. Il simbolo \(l_0\) indica la lunghezza a \(\mathrm{0\,°C}\).
Sapendo che un segmento dato sul righello ha lunghezza \(l=\mathrm{0,50\,m}\) a \(\theta=\mathrm{20\,°C}\), dalla relazione si ricava la lunghezza a \(\mathrm{0\,°C}\), \(\displaystyle l_0=\mathrm{\frac{0,50\,m}{1+12\cdot10^{-6}\,°C^{-1}\cdot20\,°C}=0,4999\,m}\). Usando questo valore si può trovare la lunghezza effettiva a \(\mathrm{40\,°C}\), \(l'=\mathrm{0,5001\,m}\).
Questa è quindi la lunghezza del segmento tracciato sulla lastra di rame. Ora, ripetendo i calcoli con il valore di \(\lambda\) del rame, si può trovare la lunghezza che il segmento avrebbe a \(\mathrm{0\,°C}\), \(l_0=\mathrm{0,4998\,m}\) e infine la temperatura alla quale la lunghezza risulta quella attesa:\[\displaystyle \theta=\frac{l-l_0}{l_0\lambda}=\mathrm{35\,°C}.\]
Naturalmente stiamo parlando di differenze di un centesimo di millimetro, che sarebbe estremamente difficile mettere in evidenza in pratica. Mi chiedo quanti righelli in commercio siano tarati con una precisione simile.
