Discesa lungo un piano inclinato con attrito

Questo è un esercizio sul piano inclinato: Un corpo scivola lungo un piano inclinato di altezza h = 2 m e lunghezza l = 10 m. Sapendo che il coefficiente di attrito dinamico kd tra il corpo e il piano è uguale a 0,2, calcola la sua velocità finale. Ecco la mia risposta: La trattazione elementare del piano inclinato mostra che, per un corpo di massa \(m\), la forza peso può essere scomposta in una componente parallela al piano, \(\displaystyle F_{//}=\frac{h}{l}mg\), e una componente perpendicolare a esso, \(\displaystyle F_{\perp}=\sqrt{1-\frac{h^2}{l^2}}\,mg\). La forza di attrito è sempre direttamente proporzionale alla componente perpendicolare al vincolo, quindi \(\displaystyle F_a=k_d\cdot F_{\perp}\). Mentre la componente perpendicolare della forza peso è equilibrata dalla reazione vincolare del piano, la forza totale lungo il piano è data dalla somma vettoriale di \(F_{//}\) e \(F_a\), le quali hanno verso opposto. La forza totale è perciò:\[\displaystyle F_T=F_{//}-F_a=\frac{h}{l}mg-k_d\cdot\sqrt{1-\frac{h^2}{l^2}}\,mg=\left(\frac{h}{l}-k_d\cdot\sqrt{1-\frac{h^2}{l^2}}\right)\cdot mg.\]Dividendo la forza totale per la massa otteniamo l'accelerazione con la quale l'oggetto scivola lungo il piano:\[\displaystyle a= \left(\frac{h}{l}-k_d\cdot\sqrt{1-\frac{h^2}{l^2}}\right)\cdot g = \mathrm{0,04\frac{m}{s^2}}.\]A questo punto il problema si riduce a quello di un moto uniformemente accelerato, note l'accelerazione e la distanza percorsa \(\Delta s=l\). Dall'equazione del moto \(\displaystyle \Delta s = \frac{1}{2}at^2\) si ricava l'intervallo di tempo impiegato \(\displaystyle t=\sqrt{\frac{2\Delta s}{a}}=\mathrm{22\,s}\). Possiamo così calcolare la velocità raggiunta in tale intervallo di tempo, \(\displaystyle v=at=\mathrm{0,88\frac{m}{s}}\).

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