Questo è un esercizio sulla trasmissione del calore:
Calcolare la quantità di calore che passa ogni ora per sola conduzione attraverso la parete laterale di un serbatoio cilindrico verticale.
Questo è un esercizio sulla trasmissione del calore:
Calcolare la quantità di calore che passa ogni ora per sola conduzione attraverso la parete laterale di un serbatoio cilindrico verticale (dimensioni 3 m per 2 m) composta da uno spessore di 4 cm di acciaio (k1 = 50 kcal/mh°C) e 2 cm di un isolante con k2 = 0,1 kcal/mh°C. La temperatura interna è -5 °C e quella esterna 20 °C.
Ecco la mia risposta:
Trascuriamo la piccola differenza di area tra la parete interna, quella esterna e l'interfaccia fra i due spessori, dato che gli spessori sono trascurabili rispetto alle dimensioni. Assumiamo perciò che le tre pareti attraverso cui passa il calore siano tutte uguali, con area \(S=\mathrm{3\,m\cdot2\,m=6\,m^2}\).
Il calore non può accumularsi fra una parete e l'altra, perciò il flusso di calore \(\displaystyle\frac{Q}{\Delta t}\) dev'essere uguale attraverso le due pareti. Possiamo scrivere:
\(\displaystyle\frac{Q}{\Delta t}=k_1 S\frac{T_{ext}-T_m}{d_1}\)
\(\displaystyle\frac{Q}{\Delta t}=k_2 S\frac{T_m-T_{int}}{d_2}\)
dove \(T_{ext}\), \(T_{int}\) e \(T_m\) sono rispettivamente la temperatura esterna, quella interna e quella all'interfaccia fra le due pareti, e \(d_1\) e \(d_2\) sono i rispettivi spessori.
Si ottiene l'equazione:
\(\displaystyle k_1 S\frac{T_{ext}-T_m}{d_1}=k_2 S\frac{T_m-T_{int}}{d_2}\)
da cui:
\(\displaystyle \left(k_2 S\frac{1}{d_2}+k_1 S\frac{1}{d_1}\right)T_m = k_1 S\frac{T_{ext}}{d_1}+k_2 S\frac{T_{int}}{d_2}\).
Da questa espressione ricaviamo \(T_m\):
\(\displaystyle T_m = \frac{\frac{k_2 S T_{ext}}{d_2}+\frac{k_1 S T_{int}}{d_1}}{\frac{k_2 S}{d_2}+\frac{k_1 S}{d_1}}= \frac{\frac{k_2 T_{ext}}{d_2}+\frac{k_1 T_{int}}{d_1}}{\frac{k_2}{d_2}+\frac{k_1}{d_1}}=\mathrm{19,9\,°C}\).
Come si vede, la differenza di temperatura è quasi tutta agli estremi della parete isolante, come ci si poteva aspettare.
Con il valore di \(T_m\) è possibile usare una delle due espressioni equivalenti del flusso di calore per determinare il risultato cercato.
