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Una gara di corsa - supplemento

Questo è lo svolgimento dettagliato di un esercizio già affrontato: Nel post Una gara di corsa discutevo un esercizio di cinematica presentando un sistema di equazioni che, risolto, forniva la risposta all'esercizio. Una richiesta sollecita lo svolgimento esplicito del sistema.
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Questo è lo svolgimento dettagliato di un esercizio già affrontato: Nel post Una gara di corsa discutevo un esercizio di cinematica presentando un sistema di equazioni che, risolto, forniva la risposta all'esercizio. Una richiesta sollecita lo svolgimento esplicito del sistema. Ecco la mia risposta: Di solito non do seguito a richieste di questo genere. Posso farlo ogni tanto, come faccio ora. Ma la regola è che un certo numero di passaggi lo studente deve saperli fare da solo. Il sistema era formato da queste due equazioni: \(t_1 + t_2 = 7,88\,\mathrm{s}\) \(\displaystyle\frac{1}{2}3,80\mathrm{\frac{m}{s^2}}t_1^2+3,80\mathrm{\frac{m}{s^2}}t_1\cdot t_2=50\,\mathrm{m}\). Per migliorare la leggibilità introduco i simboli \(x=t_1\), \(y=t_2\), \(\alpha=7,88\,\mathrm{s}\), \(\beta=1,90\,\mathrm{m/s^2}\), \(\gamma=50\,\mathrm{m}\). Il sistema diventa: \(x+y=\alpha\) \(\beta x^2 + 2\beta x y = \gamma\). Ricavo \(y=\alpha-x\) dalla prima equazione e sostituisco nella seconda: \(\beta x^2 + 2\beta\alpha x - 2\beta x^2 = \gamma\) \(\beta x^2 -2\alpha\beta x + \gamma = 0\) e applicando la risolvente si ha: \(\displaystyle x = \frac{2\alpha\beta \pm \sqrt{4\alpha^2\beta^2 - 4\beta\gamma}}{2\beta}\). Questa espressione, una volta sostituiti i valori delle costanti, fornisce due risultati (13,86 s e 1,90 s) per \(x=t_1\). Soltanto il maggiore dei due risultati, però, fornisce un valore accettabile (positivo) per \(y=\alpha-x\). Il post originale fornisce le espressioni da usare per il calcolo delle distanze \(s_1\) e \(s_2\).

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