Questo è un esercizio di cinematica elementare:
Un treno parte da fermo e accelera con a = 3 m/s2 costante per 20 s. Poi viaggia a velocità costante per 1,5 ore. Infine frena fino a fermarsi con una decelerazione di 4 m/s2.
Questo è un esercizio di cinematica elementare:
Un treno parte da fermo e accelera con a = 3 m/s2 costante per 20 s. Poi viaggia a velocità costante per 1,5 ore. Infine frena fino a fermarsi con una decelerazione di 4 m/s2. Trovare tutto lo spazio percorso, il tempo totale e la velocità media.
Ecco la mia risposta:
Nella prima fase il treno si muove di moto uniformemente accelerato. Le equazioni rilevanti sono:
\(\displaystyle s = s_0 + v_0 t + \frac{1}{2} a_0 t^2\)
\(\displaystyle v = v_0 + a_0 t\)
dove possiamo porre \(s_0=0\) scegliendo come posizione di riferimento la posizione del treno all'istante \(t=0\); poniamo \(v_0=0\) perché il treno parte da fermo; e possiamo porre \(\displaystyle a_0 = \mathrm{3\,\frac{m}{s^2}}\) positiva scegliendo il verso del moto del treno come verso positivo del nostro sistema rettilineo di riferimento.
Le equazioni diventano:
\(\displaystyle s = \frac{1}{2}\mathrm{3\,\frac{m}{s^2}}\,t^2\) e \(\displaystyle v = \mathrm{3\,\frac{m}{s^2}}\,t\)
e dopo 20 secondi posizione e velocità assumono i valori:
\(s_1=\mathrm{600\,m}\) e \(\displaystyle v_1=\mathrm{60\,\frac{m}{s}}\).
Nella seconda fase il treno si muove di moto uniforme dalla posizione \(s_1\) con la velocità \(v_1\). Le equazioni del moto sono ora:
\(\displaystyle s = s_1 + v_1 t = \mathrm{600\,m} + \mathrm{60\,\frac{m}{s}\,t}\)
\(\displaystyle v = v_1 = \mathrm{60\,\frac{m}{s}}\).
Dopo un'ora e mezza (5400 secondi) posizione e velocità assumono i valori:
\(s_2=\mathrm{324600\,m}\) e \(\displaystyle v_2 =v_1=\mathrm{60\,\frac{m}{s}}\).
Nella terza fase il treno si muove di nuovo di moto uniformemente accelerato, ma con accelerazione negativa (il termine decelerazione andrebbe evitato). Le equazioni del moto diventano:
\(\displaystyle s = s_2 + v_2 t + \frac{1}{2} a_2 t^2 = \mathrm{324600\,m}+\mathrm{60\,\frac{m}{s}}\,t+\frac{1}{2}\left(-\mathrm{4\,\frac{m}{s^2}}\right)t^2\)
\(\displaystyle v = v_2 + a_2 t = \mathrm{60\,\frac{m}{s}}+\left(-\mathrm{4\,\frac{m}{s^2}}\right)t\).
Il treno rallenta fino a fermarsi. Ponendo \(v=0\) nell'ultima equazione si ottiene l'istante \(t_f\) al quale il treno si arresta:
\(\displaystyle 0 = \mathrm{60\,\frac{m}{s}}-\mathrm{4\,\frac{m}{s^2}}\,t_t\)
da cui
\(\displaystyle t_f = \mathrm{\frac{-60\,\frac{m}{s}}{-4\,\frac{m}{s^2}}=15\,s}\).
La durata complessiva del moto è \(T=\mathrm{20\,s + 5400\,s + 15\,s=5435\,s}\).
La distanza percorsa complessivamente coincide con la posizione finale del treno:
\(\displaystyle S = \mathrm{324600\,m}+\mathrm{60\,\frac{m}{s}\cdot15\,s-2\,\frac{m}{s^2}\cdot\left(15,s\right)^2=325050\,m}\).
Dividendo \(S\) per \(T\) si ottiene la velocità media:
\(\displaystyle v_m=\frac{S}{T}=\mathrm{59,8\frac{m}{s}}\).
