Un bersaglio in movimento

Questo è un esercizio di cinematica:

Un bersaglio si trova a a 100 m da un arciere. Quando parte la freccia con un angolo di 45° rispetto al suolo, il bersaglio inizia a allontanarsi di moto rettilineo uniformemente accelerato con accelerazione pari a 1,5 m/s². Calcola la velocità della freccia se il bersaglio viene colpito dopo 9 s dal momento in cui si è messo in movimento. Dalla figura si vede che punto di partenza e arrivo della freccia sono alla stessa altezza.

Ecco la mia risposta:

Chiamiamo \(\Delta t = \mathrm{9\,s}\) l’intervallo di tempo fra lo scoccare della freccia e il raggiungimento del bersaglio. La distanza percorsa dalla freccia in tale intervallo di tempo, con un moto uniforme con velocità orizzontale \(\displaystyle v_{0x}=v_0\cdot\cos(45°)=\frac{\sqrt 2}{2}v_0\), è pari a \(\displaystyle\Delta x = \frac{\sqrt 2}{2}v_0\Delta t\). La distanza percorsa nello stesso intervallo di tempo dal bersaglio è \(\displaystyle\Delta x -\mathrm{100\,m} = \Delta s = \frac{1}{2}a\Delta t^2\).

Dall’equazione:
\(\displaystyle\frac{\sqrt 2}{2}v_0\cdot\mathrm{9\,s} – \mathrm{100\,m} = \frac{1}{2}\mathrm{1,5\frac{m}{s^2}}\left(\mathrm{9\,s}\right)^2\)
ricaviamo:
\(\displaystyle v_0 = \frac{\frac{1}{2}\mathrm{1,5\frac{m}{s^2}}\left(\mathrm{9\,s}\right)^2+ \mathrm{100\,m}}{\frac{\sqrt 2}{2}\cdot\mathrm{9\,s}}=\mathrm{25\frac{m}{s}}\).

C’è però un problema Sempre nello stesso intervallo, la distanza percorsa in verticale dalla freccia dovrebbe essere \(\displaystyle\Delta h=v_{0y}\Delta t -\frac{1}{2}g\Delta t^2 = \frac{\sqrt 2}{2}v_0\Delta t -\frac{1}{2}g\Delta t^2 = 0\). Ma sostituendo i valori trovati non si ottiene un risultato nullo. È probabile che a chi ha scritto l’esercizio sia sfuggita la necessità di tenere conto anche di questo vincolo.

Per la lezione

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