Due buchi in una sfera

Questo è un problema sul campo elettrico:

Sulla superficie di una sfera conduttrice cava di raggio R = 26 cm, carica Q = 0,50 nC e spessore trascurabile vengono fatti due piccoli fori di diametro d = 3,0 mm che non modificano la distribuzione della carica Q. Le rette passanti per i centri dei due fori formano un angolo di 90°. Calcola il modulo del campo elettrico nel centro della sfera e determinane la direzione e il verso.

Ecco la mia risposta:

L’effetto della rimozione delle due porzioni di carica positiva è lo stesso (per il principio di sovrapposizione) che si avrebbe se la sfera fosse integra ma fossero presenti, al posto dei due fori e in un involucro isolante, due cariche negative di valore corrispondente. Dato che la superficie della sfera è \(S=4\pi R^2 = \mathrm{0,85\,m^2}\), la densità superficiale di carica vale \(\displaystyle\sigma = \frac{Q}{S}=\mathrm{5,9\cdot10^{-10}\frac{C}{m^2}}\). L’area di ciascuna delle porzioni di sfera rimosse (trascurandone la curvatura) è \(\displaystyle s=\pi \left(\frac{d}{2}\right)^2=\mathrm{7,1\cdot10^{-6}\,m^2}\) e la loro carica vale \(q=\sigma\cdot s = \mathrm{4,2\cdot10^{-15}\,C}\) .

Il campo di due cariche elettriche puntiformi di valore \(-q\) nel centro del sfera (a distanza \(R\)) si può calcolare con la ben nota espressione \(\displaystyle E=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q}{R^2}\). I due vettori risulteranno uguali e perpendicolari, perciò la loro somma avrà un’intensità pari a \(\sqrt 2\) volte l’intensità di ciascuno e sarà diretta a 45° rispetto a ciascuno di essi. Questo campo va sommato a quello della sfera integra, che vale zero.

Per la lezione

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