Un problema di fisica?

Questo è un problema sulle derivate:

Un punto materiale P si muove lungo l’asse x partendo da O all’istante t=0, seguendo la legge oraria x(t)=15*t*(e^-t).
Determinare la distanza da O quando il punto è fermo e la sua accelerazione in quell’istante (x in metri e t in secondi).

Ecco la mia risposta:

Con tutto il rispetto possibile, devo dive onestamente che questo non può essere considerato un problema di fisica. La legge oraria che viene proposta non ha alcun legame con un sistema fisico concreto e con la sua effettiva dinamica, ma è presentata come funzione matematica astratta. È vero che al posto della solita \(x\) c’è una \(t\) e al posto della \(y\) c’è una \(x\), ma nell’espressione non si tiene alcun conto della diversa dimensionalità di queste variabili. Come si fa a calcolare l’esponenziale di una durata? E in che modo il prodotto di un numero puro come \(15\) per una durata potrebbe dare una lunghezza?
In un esercizio di matematica questo è forse ammissibile, ma non in esercizio di fisica.

La legge oraria dovrebbe essere scritta nella forma:
\(\displaystyle x(t) = \mathrm{15\frac{m}{s}}\cdot t\cdot e^{-\frac{t}{t_0}}\)
con \(t_0=\mathrm{1\,s}\). È vero che ora la derivazione diventa un po’ più delicata, ma se si ritiene che la difficoltà sia eccessiva basta rinunciare a presentare il problema sotto le spoglie di un esercizio di fisica. Sarebbe fuori luogo che un studente di fisica per imparare a derivare una grandezza dovesse disimparare a tenere conto di un aspetto fondamentale come le unità di misura e le dimensioni fisiche.

Il testo chiede di considerare l’istante in cui il punto materiale è fermo. Se per “fermo” si intende “in quiete” o “in equilibrio”, non è possibile dare alcuna risposta. Se invece si intende istantaneamente fermo, cioè con velocità istantanea pari a \(0\), allora si chiede di calcolare la derivata prima della posizione rispetto al tempo e di trovare l’istante al quale essa si annulla.
La derivata richiesta è:
\(\displaystyle x'(t) = \mathrm{15\frac{m}{s}}\cdot e^{-\frac{t}{t_0}}-\mathrm{15\frac{m}{s}}\cdot\frac{t}{t_0}\cdot e^{-\frac{t}{t_0}}\).
Imponendo \(x'(t)=0\) si ottiene \(t=\mathrm{1\,s}\). La distanza dall’origine a questo istante è uguale alla posizione a tale istante (poiché all’istante \(t=0\) il punto materiale era all’origine), che è pari a
\(\displaystyle x(\mathrm{1\,s})=\mathrm{15\frac{m}{s}\cdot 1\,s}\cdot e^{-1}=\mathrm{5,52\,m}\)
(assumendo che la precisione consenta di scrivere tre cifre significative).

L’accelerazione all’istante \(t=\mathrm{1\,s}\) sarà data dal valore in tale istante della derivata seconda della posizione rispetto al tempo. Si ottiene:
\(\displaystyle {x’}’ (t) = -\frac{\mathrm{15\frac{m}{s}}}{t_0}\cdot e^{-\frac{t}{t_0}}-\frac{\mathrm{15\frac{m}{s}}}{t_0}\cdot e^{-\frac{t}{t_0}}+\mathrm{15\frac{m}{s}}\cdot\frac{t}{t_0^2}\cdot e^{-\frac{t}{t_0}}\)
(vale la pena controllare come tutti gli addendi abbiano in questo modo automaticamente le unità di misura corrette per rappresentare un’accelerazione).
All’istante \(t=\mathrm{1\,s}\) si ottiene
\(\displaystyle {x’}’ (\mathrm{1\,s})=-\mathrm{15\frac{m}{s^2}}\cdot e^{-1}=\mathrm{-5,52\frac{m}{s^2}}\)

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