Una somma infinita

Ricevo da Simone la seguente domanda:

Gentile professore,
sul testo è stata presentata l’affermazione che i numeri periodici di periodo 9 sono impropri e come esempio è presente $$ 0,\overline{9}=1 .$$
Intuitivamente riesco a comprendere l’affermazione ma vi è una spiegazione matematica?
 
Gli rispondo così:
 
Caro Simone,
la questione è più sottile di quanto sembri e la “spiegazione matematica” ci porterebbe abbastanza lontano… Diciamo che ci costringe a riflettere su un’idea: che la somma di un numero (tendenzialmente) infinito di addendi possa (tendere a) essere un numero finito! Che è poi la soluzione matematicamente moderna dei paradossi della continuità che già avevano tormentato antichi filosofi (vedi l’Achille del filosofo greco Zenone che non raggiunge mai la tartaruga, o la sua freccia che non colpisce mai il suo bersaglio…). Ragioniamo così:

 

$$ 0,{999…9}_{n \mbox{ volte}} =\frac{9}{10}+\frac{9}{100}+…\frac{9}{10^n} =\frac{9}{10}\left(1+\frac{1}{10}+\frac{1}{100}+…+\frac{1}{10^{n-1}}\right) $$   

 

Chiamiamo \( S=1+\frac{1}{10}+\frac{1}{100}+…+\frac{1}{10^{n-1}} \); poiché:
$$  \frac{1}{10}S+1=\left(1+\frac{1}{10}+\frac{1}{100}+…+\frac{1}{10^{n-1}}\right)+\frac{1}{10^n}=S+\frac{1}{10^n} $$   
abbiamo:
$$ S=\frac{1-\frac{1}{10^n}}{1-\frac{1}{10}}=\frac{10}{9}\left(1-\frac{1}{10^n}\right) $$   
Pertanto:
$$ 0,{999…9}_{n \mbox{ volte}}=\frac{9}{10}\cdot \frac{10}{9}\left(1-\frac{1}{10^n}\right)=1-\frac{1}{10^n} .$$
La cosa che “modernamente” diciamo è che, al limite per \( n \rightarrow +\infty \), il termine \( \frac{1}{10^n} \) tende a zero, pertanto, sempre al limite per \( n \rightarrow +\infty \), possiamo dire che
$$ 0,99999…=1\;\;\;! $$
 
Massimo Bergamini

 

Per la lezione