Ricevo da Elisa la seguente domanda:
Caro professore, vorrei chiederle un favore su un integrale. L’esercizio è: date le equazioni parametriche di una curva
\[\left\{ \begin{array}{ll} x=4t^3-3t \\ y=6t^2 \end{array} \right. \]
calcolare la lunghezza del cappio di questa curva.
Professore, come faccio a trovare gli estremi di integrazione se conosco solo l’equazione parametrica?
Grazie mille
Le rispondo così:
Cara Elisa,
si tratta di trovare tali estremi ricercando per quali valori del parametro \(t\) otteniamo il punto doppio \(P\) che rappresenta l’inizio e la fine del cappio (è utile pensare \(t\) come il tempo, e \(x(t)\) e \(y(t)\) come le coordinate del punto mobile lungo la curva piana: le equazioni parametriche sono le “leggi orarie”). A questo scopo, chiamiamo \(s\) un ipotetico valore di \(t\) per il quale si abbia \(x(t)=x(s)\) e \(y(t)=y(s)\), e cerchiamo le evntuali coppie \((t,s)\) che risolvono il sistema:
\[\left\{ \begin{array}{ll} 4t^3-3t=4s^3-3s \\ 6t^2=6s^2 \end{array} \right. \]
La seconda equazione ci dà subito \(s=\pm t\): la soluzione \(s=t\) non ci interessa, poiché rende il sistema ovviamente soddisfatto per ogni valore di \(t\) e di \(s\), e non ci dà indicazioni su eventuali punti doppi, mentre la soluzione \(s=-t\), sostituita nella prima, ci fornisce l’equazione:
\[8{{t}^{3}}-6t=0\to t=0\vee t=\pm \frac{\sqrt{3}}{2}\ .\]
La soluzione \(t=0\) ci dà \(s=0\), cioè \(t=s\), che, come già detto, non corrisponde ad un punto doppio, mentre le altre soluzioni corrispondono alla coppia \(t=\sqrt{3}/2\), \(s=-\sqrt{3}/2\), o alla sua simmetrica (ovvio che i ruoli di \(t\) ed \(s\) sono intercambiabili). Pertanto, esiste un solo punto doppio, corrispondente sia al valore \(\sqrt{3}/2\) del parametro che al suo opposto \(-\sqrt{3}/2\), e come si può verificare facilmente tale punto ha coordinate \(P(0, 9/2)\).
Ma quello che importa ai fini del calcolo della lunghezza del cappio sono i valori \(t_1\) e \(t_2\) del parametro che danno il punto doppio, cioè gli estremi di integrazione nella formula che dà la lunghezza di un arco di curva:
\[\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{\sqrt{{{\left( x'\left( t \right) \right)}^{2}}+{{\left( y'\left( t \right) \right)}^{2}}}}\ dt\]
Un’osservazione: in generale occorrerebbe accertarsi che il cappio sia “percorso” per valori di \(t\) interni all’intervallo \([-\sqrt{3}/2,\sqrt{3}/2]\), e non, ad esempio, per valori esterni, come potrebbe accadere (o altri scenari più complicati…): poiché nel nostro caso la parametrizzazione è continua \(\forall t\in \mathbb{R}\), un tratto chiuso e limitato di curva deve necessariamente essere l’immagine di un intervallo chiuso e limitato. In conclusione, la lunghezza \(L\) del cappio è data da:
\[L=\int\limits_{-\sqrt{3}/2}^{\sqrt{3}/2}{\sqrt{{{\left( 12{{t}^{2}}-3 \right)}^{2}}+{{\left( 12t \right)}^{2}}}}\ dt=\int\limits_{-\sqrt{3}/2}^{\sqrt{3}/2}{\sqrt{144{{t}^{4}}+72{{t}^{2}}+9}}\ dt=\int\limits_{-\sqrt{3}/2}^{\sqrt{3}/2}{\sqrt{{{\left( 12{{t}^{2}}+3 \right)}^{2}}}}\ dt=\]
\[=\int\limits_{-\sqrt{3}/2}^{\sqrt{3}/2}{\left( 12{{t}^{2}}+3 \right)}\ dt=\left[ 4{{t}^{3}}+3t \right]_{-\sqrt{3}/2}^{\sqrt{3}/2}=6\sqrt{3}\quad .\]
Massimo Bergamini