Punti di discontinuità

Massimo Bergamini
Ricevo da Adriano la seguente domanda:
 
Carissimo professore, ho difficoltà nell'individuare i punti di discontinuità e la loro relativa specie nelle seguenti funzioni (nn. 676, 680, 681 pag u201 Manuale Blu)
                                                       \[y=\frac{x+1}{\left| x+1 \right|}+\frac{2}{x}\]
\[y=\frac{\tan x}{\left| x \right|}\]
\[y=\frac{\text{sen}x}{\left| x+\frac{\pi }{2} \right|-\frac{\pi }{2}}\]
Mi può indicare la risoluzione? Grazie in anticipo.
 
Gli rispondo così:
 
Caro Adriano,
per prima cosa liberiamoci dei valori assoluti:
\[y=\frac{x+1}{\left| x+1 \right|}+\frac{2}{x}=\left\{ \begin{array}{ll} \frac{2-x}{x}\;\;\;\;x<-1\\  \frac{x+2}{x}\;\;\;\;x>-1\;\vee x\neq 0  \end{array}\right.\]
\[ y=\frac{\tan x}{\left| x \right|}=\left\{ \begin{array}{ll} -\frac{\tan x}{x}\;\;\;\;x<0 \\ \frac{\tan x}{x}\;\;\;\;x>0 \end{array}\right.\]
\[ y=\frac{\text{sen}x}{\left| x+\frac{\pi }{2} \right|-\frac{\pi }{2}}=\left\{ \begin{array}{ll} -\frac{\sin x}{x+\pi}\;\;\;\;x<-\pi/2\;\vee x\neq -\pi  \\ \frac{\sin x}{x}\;\;\;\;x\geq -\pi/2\;\vee x\neq 0 \end{array}\right.\]
Risulta ora più facile capire che:
nel primo caso, in \(x=-1\) i limiti da destra (\(-1\)) e da sinistra (\(-3\)) non coincidono (discontinuità di 1° specie), mentre in \(x=0\) sono infiniti (discontinuità di 2° specie);
 
 
nel secondo caso, in \(x=0\) i limiti da destra (\(1\)) e da sinistra (\(-1\)) non coincidono (discontinuità di 1° specie), mentre in \(x=\pi/2+k\pi\) sono infiniti (discontinuità di 2° specie);
 
 
nel terzo caso, in \(x=0\) e in \(x=-\pi\) i limiti da destra e da sinistra coincidono (\(1\)) ma la funzione non è definita in tali punti (discontinuità di 3° specie), mentre in \(x=-\pi/2\) la funzione è definita e continua, e vale \(2/\pi\).
 
 
Massimo Bergamini

Per la lezione

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