Una piramide irregolare

Ricevo da Elisa la seguente domanda:
 
Caro professore, le scrivo il seguente problema:
Nel triangolo rettangolo \(ABC\), l’ipotenusa \(AC\) è uguale agli \(11/7\) del cateto \(BC\). Preso un punto \(P\) su \(BC\), determinare il perimetro del triangolo \(ABC\) e il volume della piramide avente per base il triangolo \(APC\), vertice \(V\) ed altezza \(VA\) uguale a \(BC\), sapendo che \(AP\) è uguale al triplo di \(BP\) e che la superficie laterale della piramide considerata misura \(92\;cm^2\).
Grazie mille
 
Le rispondo così:
 
Cara Elisa,
posto \(BC=a\), si ricava subito \(AB=6a\sqrt{2}/7\), e applicando Pitagora anche al triangolo rettangolo \(ABP\), si ottiene \(AP=9a/7\) e \(BP=3a/7\), da cui \(PC=4a/7\). Pertanto, le facce \(VAP\) e \(VAC\) della piramide \(VAPC\), che sono triangoli rettangoli, hanno area
                            \[{{S}_{VAP}}=\frac{9}{14}{{a}^{2}}\quad {{S}_{VAC}}=\frac{11}{14}{{a}^{2}}\quad .\]
Della faccia \(VPC\) conosciamo tutti gli spigoli: \(PC=4a/7\),  \(PC=\sqrt{130}a/7\), \(PC=\sqrt{170}a/7\); per ricavare l’area possiamo ricavare il coseno di uno degli angoli interni, ad esempio \(VCP\), con il teorema di Carnot:
\[\cos \left( V\hat{C}P \right)=\frac{170{{a}^{2}}/49+16{{a}^{2}}/49-130{{a}^{2}}/49}{8\sqrt{170}{{a}^{2}}/49}=\frac{7}{\sqrt{170}}\]
da cui \(\sin \left( V\hat{C}P \right)=11/\sqrt{170}\), e quindi:
\[{{S}_{VPC}}=\frac{PC\cdot VC\cdot \sin \left( V\hat{C}P \right)}{2}=\frac{22}{49}{{a}^{2}}\quad .\]
Si conclude quindi che:
\[\frac{9}{14}{{a}^{2}}+\frac{11}{14}{{a}^{2}}+\frac{22}{49}{{a}^{2}}=92\ c{{m}^{2}}\to a=7\ cm\]
e pertanto
              \[2{{p}_{ABC}}=6\left( 3+\sqrt{2} \right)\,cm\quad \quad {{V}_{VAPC}}=28\sqrt{2}\,c{{m}^{3}}\quad .\]
Massimo Bergamini

Per la lezione

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