Un problema di geometria solida

Ricevo da Alberto la seguente domanda:
 
Buongiorno,
avrei un altro esercizio di geometria che proprio non mi riesce (n.20, pag. p68, Manuale Blu di Matematica):
Un quadrato di lato \(l\) è inscritto nella base di un cono circolare retto. L'angolo al vertice del triangolo isoscele con base sul lato del quadrato e vertice coincidente con quello del cono ha ampiezza \(2\beta\).
1) Esprimi il volume del cono in funzione di \(l\) e \(\beta\)
2) Calcola il valore dell'area del cono nel caso che sia \(\beta=30^\circ\)
3) Nel caso del punto precedente determina l'angolo che il piano del triangolo forma con la base del cono.
Grazie mille.
Alberto
 
Gli rispondo così:
 
Caro Alberto,
innanzitutto il raggio \(OA\) della circonferenza è semplicemente \(OA=\sqrt{2}AM=\sqrt{2}l/2\). Per determinare l’altezza \(OV\) occorre determinare l’apotema \(MV\): poiché \(\tan\beta=AM/MV\) si ha che \(MV=l/(2 \tan\beta)\), per cui
\[OV=\sqrt{V{{M}^{2}}-O{{M}^{2}}}=\sqrt{\frac{{{l}^{2}}}{4{{\tan }^{2}}\beta }-\frac{{{l}^{2}}}{4}}=\frac{l}{2\sin \beta }\sqrt{1-2{{\sin }^{2}}\beta }\]
da cui il volume \[\frac{\pi A{{O}^{2}}\cdot OV}{3}=\frac{\pi {{l}^{2}}}{12\sin \beta }\sqrt{1-2{{\sin }^{2}}\beta }\quad .\]
Per determinare la superficie totale del cono, occorre ricavare l’apotema \(AV\) del cono, cioè, nel caso sia \(\beta=30^\circ\): \[AV=\sqrt{A{{O}^{2}}+O{{V}^{2}}}=\sqrt{\frac{{{l}^{2}}}{2}+\frac{{{l}^{2}}}{2}}=l\]
per cui la superficie del cono risulta:
\[\frac{\pi {{l}^{2}}}{2}+\frac{\pi {{l}^{2}}\sqrt{2}}{2}=\frac{\pi {{l}^{2}}\left( 1+\sqrt{2} \right)}{2}\quad .\]
Infine, poiché nel caso di \(\beta=30^\circ\) si ha \(OV=l\sqrt{2}/2\) e \(VM=l\sqrt{3}/2\), langolo \(\alpha\) che il piano del triangolo forma con la base del cono è tale che \(\cos\alpha=\sqrt{3}/3\).
 
Massimo Bergamini

Per la lezione

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