Ricevo da Samuele la seguente domanda:
Caro professore, le sottopongo il seguente quesito:
"Dimostrare che il numero \({{2}^{4532}}-1\) non è primo".
Non sono ammesse calcolatrici e non si deve svolgere la potenza l'operazione. Come fare?
Grazie in anticipo per la risposta.
Gli rispondo così:
Caro Samuele,
le questioni di teoria dei numeri sono sempre intriganti… Questa volta ce la caviamo con un piccolo trucco. Dimostriamo più in generale che:
\[\forall n\ge 2\quad {{2}^{2n}}-1\text{ non }\;\;\!\!\grave{\mathrm{e}}\;\;\!\!\text{ primo}\ \text{.}\]
Basta infatti osservare che, ricordando una scomposizione notevole molto frequente, \({{2}^{2n}}-1=\left( {{2}^{n}}+1 \right)\left( {{2}^{n}}-1 \right)\), e che i fattori \({{2}^{n}}+1\) e \({{2}^{n}}-1\) sono entrambi strettamente maggiori di \(1\) per ogni \(n\geq 2\) (in effetti, l’unico numero non nullo della forma \({{2}^{2n}}-1\) che sia primo è \(3={{2}^{2\cdot 1}}-1\), cioè il caso \(n=1\)). Ne consegue che, in particolare
\[{{2}^{2\cdot 2266}}-1=({{2}^{2266}}-1)\cdot ({{2}^{2266}}+1)\]
non è primo!
Massimo Bergamini