Ricevo da Marcello la seguente domanda:
Gentile professore,
desidererei avere la soluzione dei seguenti esercizi (Manuale Blu 2.0 di Matematica, modulo V pag.1683, n. 424 e n. 425):
1) Data la funzione \(f(x)=4x+\ln x\), detta \(g(y)\) la sua funione inversa, calcola \(g’(y)\) nel punto \(y_0=4\).
2) Data la funzione \(f(x)=x+1+\arctan x\), detta \(g(y)\) la sua funione inversa, calcola \(g’(y)\) nel punto \(y_0=1\).
2) Data la funzione \(f(x)=x+1+\arctan x\), detta \(g(y)\) la sua funione inversa, calcola \(g’(y)\) nel punto \(y_0=1\).
Grazie mille.
Gli rispondo così:
Caro Marcello,
si tratta di ricordare che, in generale, se \(g(y)\) è la funzione inversa di \(f(x)\):
\[g'\left( {{y}_{0}} \right)=\frac{1}{f'\left( {{x}_{0}} \right)}=\frac{1}{f'\left( g\left( {{y}_{0}} \right) \right)}\quad .\]
Nota che, per determinare la derivata di una funzione inversa in un valore \(y_0\) specifico non è necessario ricavare esplicitamente la funzione inversa \(g(y)\), ma è sufficiente determinare il valore \(x_0=g(y_0)\) in cui calcolare la derivata di \(f(x)\), cioè “risolvere” (eventualmente per tentativi ragionati) l’equazione \(f(x)=y_0\). Nel primo caso, \(4x+\ln x=4\to {{x}_{0}}=1\), per cui:
\[f'\left( x \right)=4+\frac{1}{x}\to f'\left( 1 \right)=4+\frac{1}{1}=5\to g'\left( 4 \right)=\frac{1}{5}\quad .\]
Nel secondo caso, \(x+1+\arctan x=1\to {{x}_{0}}=0\), per cui:
\[f'\left( x \right)=1+\frac{1}{1+{{x}^{2}}}\to f'\left( 0 \right)=1+\frac{1}{1}=2\to g'\left( 1 \right)=\frac{1}{2}\quad .\]
Massimo Bergamini