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Un problema di geometria solida

Ricevo da Samuele il seguente problema: Sono dati una circonferenza di diametro \(AB=4\) ed il triangolo rettangolo rettangolo \(ABC\) tale che la sua ipotenusa \(AC\) incontri la circonferenza in \(P\) e tale che la sua lunghezza sia \(8\sqrt{2/5}\). Si conduca una retta perpendicolare ad \(AB\) che incontri rispettivamente \(AB\), la circonferenza e \(AC\) in \(D\), \(E\) ed \(F\) e siano \(E'\) ed \(F'\) le proiezioni di \(E\) ed \(F\) su \(BC\). Si studi, al variare di \(AD\), la variazione del volume \(V\) del solido \(S\) generato, in un giro completo attorno ad \(AB\), dal rettangolo \(EE'F'F\). Osservato che \(V\) ha due massimi relativi, si calcoli, quando \(V\) assume il suo valore massimo assoluto, l'area della superficie totale di \(S\).
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Ricevo da Samuele la seguente domanda:
 
Caro professore,
non riesco a risolvere il seguente problema di geometria solida:
Sono dati una circonferenza di diametro \(AB=4\) ed il triangolo rettangolo rettangolo \(ABC\) tale che la sua ipotenusa \(AC\) incontri la circonferenza in \(P\) e tale che la sua lunghezza sia \(8\sqrt{2/5}\). Si conduca una retta perpendicolare ad \(AB\) che incontri rispettivamente \(AB\), la circonferenza e \(AC\) in \(D\), \(E\) ed \(F\) e siano \(E'\) ed \(F'\) le proiezioni di \(E\) ed \(F\) su \(BC\). Si studi, al variare di \(AD\), la variazione del volume \(V\) del solido \(S\) generato, in un giro completo attorno ad \(AB\), dal rettangolo \(EE'F'F\). Osservato che \(V\) ha due massimi relativi, si calcoli, quando \(V\) assume il suo valore massimo assoluto, l'area della superficie totale di \(S\).
Grazie in anticipo per la risposta.
 
Gli rispondo così:
 
Caro Samuele,
con riferimento alla figura, poniamo \(x=AD\), con \(0\leq x\leq 4\), e osserviamo che \(BC=4\sqrt{3/5}\), i triangoli \(ABC\) e \(ADF\) sono simili e il triangolo \(AEB\) è rettangolo in \(E\), in quanto inscritto nella semicirconferenza di diametro \(AB\). Notiamo inoltre che il rettangolo \(EE'F'F\) ha area nulla non solo quando \(E\) coincide o con \(A\) o con \(B\) (\(x=0\) o \(x=4\)), ma anche quando \(E=P\), cioè per \(x=5/2\), come si ricava dal fatto che \(PB=(AB\cdot BC)=/AC=\sqrt{6}\rightarrow AP=\sqrt{10}\). Si ricava quindi che:
               \[EE'=DB=4-x\quad EF=\left| DF-DE \right|=\left| \sqrt{\frac{3}{5}}x-\sqrt{x\left( 4-x \right)} \right|\]
essendo \(DF:DA=BC:AB\) e \(AD:DE=DE:DB\) (secondo teorema di Euclide).  
Il solido \(S\) è, in generale, un cilindro cavo, di altezza \(EE’\) e raggi \(DF\) e \(DE\), pertanto il suo volume \(V(x)\) può essere ricavato per differenza tra i volumi di due cilindri coassiali:
\[V\left( x \right)=\left| \frac{3}{5}\pi {{x}^{2}}\left( 4-x \right)-\pi x\left( 4-x \right) \right|=4\pi x\left( 4-x \right)\left| \frac{2}{5}x-1 \right|\quad .\]
In modo alternativo, si potrebbe ricavare \(V(x)\) applicando uno dei teoremi di Guldino: il volume del solido ottenuto ruotando intorno ad \(AB\) la figura \(EE'F'F\) è pari al prodotto tra l’area di tale figura e la lunghezza della circonferenza di raggio pari alla distanza \(OH\) tra il baricentro \(O\) della figura (che per un rettangolo è l’intersezione delle diagonali) e l’asse di rotazione. Tenendo conto che \(OH\) è la media tra \(DE\) e \(DF\), si ottiene l’espressione di \(V(x)\). La funzione può essere analizzata come coppia di polinomi di terzo grado:
\[V(x)=\left\{ \begin{array}{ll} 4\pi(2x^3-13x^2+20x+2)/5\quad x\leq 5/2 \\ 4\pi(-2x^3+13x^2-20x-2)/5\quad x>5/2 \end{array} \right.\]
 
 
I massimi relativi di \(V(x)\) si trovano in corrispondenza ai valori di annullamento delle derivate dei due polinomi (valori che coincidono, essendo i due polinomi l’uno l’opposto dell’altro), cioè:
\[V'\left( x \right)=\pm \frac{8}{5}\pi \left( 3{{x}^{2}}-13x+10 \right)=0\leftrightarrow {{x}_{1}}=1\vee {{x}_{2}}=\frac{10}{3}\quad .\]
In particolare, essendo \(V\left( 1 \right)=\frac{36}{5}\pi\) e \(V\left( \frac{10}{3} \right)=\frac{80}{27}\pi\), il massimo assoluto si verifica per \(x=1\), cui corrisponde una superficie totale pari a
                                            \[S=\frac{6}{5}\pi \left( 4+5\sqrt{3}+\sqrt{15} \right)\quad .\]
Massimo Bergamini

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