Ricevo da Andrea la seguente domanda:
Gentile professore,
data la funzione: \[\left\{ \begin{array}{ll} 2\frac{\sin x}{x}-2x\quad x\ne 0 \\ 3\quad\quad\quad x=0 \end{array} \right.\] determiare il dominio, il limite di \(f(x)\) per \(x\) che tende a \(0\), determinando il tipo di discontinuità nel punto \(x=0\), determinare il valore che si deve attibuire ad \(f(x)\) affinchè sia continua in \(\mathbb{R}\), calcolare il limite di \(f(x)\) per \(x\) che tende a \(\infty\) ed infine determinare per quali punti di ascissa la funzione interseca la retta \(y=-2\).
Gli rispondo così:
Caro Andrea,
la funzione, definita su tutto \(\mathbb{R}\), ha limite \(2\) per \(x\) che tende a \(0\), ricordando il limite notevole \(\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left( \sin x/x \right)=1\), quindi presenta in \(x=0\) una discontinuità eliminabile (3° specie); se si attribuisse il valore \(2\) a \(f(0)\), la funzione così modificata sarebbe continua in tutto il dominio. Il teorema del confronto permette di concludere che \(\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \sin x/x \right)=0\), per cui \(\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\pm \infty\). La risposta all’ultima domanda è un po’ complicata dal fatto che la funzione incontra la retta \(y=-2\) nei punti di ascissa \(x\) che risolvono l’equazione \(\frac{\sin x}{x}=x-1\), equazione che non può essere risolta in modo esatto: da un confronto grafico tra le funzioni che esprimono i due membri dell’equazione, si può dedurre che la soluzione \(x_0\) è unica e si colloca nell’intervallo \(1<x<2\): utilizzando metodi di calcolo approssimato si può ricavare \({{x}_{0}}\approx 1.62\).
Massimo Bergamini