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Un problema di geometria solida

Ricevo da Elisa il seguente problema: Un tronco di cono è circoscritto ad una sfera. Determinare il volume del tronco sapendo che il raggio della base maggiore misura \(9a\) e che l’area della superficie totale è \(206\pi a^2\).
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Ricevo da Elisa la seguente domanda:
 
Caro professore,
mi aiuti a risolvere questo quesito:
Un tronco di cono è circoscritto ad una sfera. Determinare il volume del tronco sapendo che il raggio della base maggiore misura \(9a\) e che l’area della superficie totale è \(206\pi a^2\).
Grazie mille.
 
Le rispondo così:
 
Cara Elisa,
con riferimento alla figura, che rapresenta una sezione del tronco di cono e della sfera inscritta, posto \(x=ML=NC=CH\), data la formula per la superficie laterale del tronco di cono \({{S}_{L}}=a\pi \left( {{r}_{1}}+{{r}_{2}} \right)\) (qui \(a\) indica l’apotema) si ha: \[\pi \left( 9a+x \right)\left( 9a+x \right)+\pi {{x}^{2}}+81\pi {{a}^{2}}=206\pi {{a}^{2}}\to {{x}^{2}}+9ax-22{{a}^{2}}=0\to x=2a\]pertanto il volume \(V\) del tronco di cono è dato da \[V=206\sqrt{2}\pi {{a}^{3}}\quad .\]
Massimo Bergamini

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