Ricevo da Ilaria la seguente domanda:
Gentilissimo Professore,
non so svolgere questo esercizio:
Dimostrare che le funzioni \[f\left( x \right)=\tan \left( \sqrt[3]{{{x}^{n}}} \right)\quad \quad g\left( x \right)=\sin \left( \sqrt[3]{{{x}^{n}}} \right)\] con \(n=1\) o \(n=2\) non sono derivabili in \(x=0\).
Dimostrare poi che la funzione \(y=f(x)-g(x)\) è invece derivabile in \(x=0\).
Mi può aiutare? Grazie!
Le rispondo così:
Cara Ilaria,
poniamo dapprima \(n=1\), ottenendo \(f\left( x \right)=\tan \left( \sqrt[3]{{{x}}} \right)\), \(g\left( x \right)=\sin \left( \sqrt[3]{{{x}}} \right)\). Le funzioni sono entrambe definite e continue in un intorno completo di \(x=0\), ed entrambe assumono valore \(0\) in \(x=0\). Applicando le regole di derivazione otteniamo: \[f'\left( x \right)=\frac{1+{{\tan }^{2}}\left( \sqrt[3]{x} \right)}{3\sqrt[3]{{{x}^{2}}}}\quad \quad g'\left( x \right)=\frac{\cos \left( \sqrt[3]{x} \right)}{3\sqrt[3]{{{x}^{2}}}}\quad .\] Le espressioni ottenute non sono definite per \(x=0\), quindi per controllare la derivabilità in \(x=0\) possiamo adottare due strategie: controllare se il limite per \(x\) tendente a \(0\) esista finito (derivabilità) o infinito (non derivabilità, con tangente verticale), oppure, nel caso il limite precedente non esistesse, controllare direttamente il limite del rapporto incrementale. Poiché: \[\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{1+{{\tan }^{2}}\left( \sqrt[3]{x} \right)}{3\sqrt[3]{{{x}^{2}}}}=\frac{1}{{{0}^{+}}}=+\infty \quad \quad \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\cos \left( \sqrt[3]{x} \right)}{3\sqrt[3]{{{x}^{2}}}}=\frac{1}{{{0}^{+}}}=+\infty \]si dimostra che le funzioni non sono derivabili in \(x=0\), punto “a tangente verticale” per i grafici di entrambe le funzioni.
In modo analogo per \(n=2\), si verifica che le funzioni \(f\left( x \right)=\tan \left( \sqrt[3]{{{x^2}}} \right)\), \(g\left( x \right)=\sin \left( \sqrt[3]{{{x^2}}} \right)\) hanno derivate \[f'\left( x \right)=\frac{2\left( 1+{{\tan }^{2}}\left( \sqrt[3]{{{x}^{2}}} \right) \right)}{3\sqrt[3]{x}}\quad \quad g'\left( x \right)=\frac{2\cos \left( \sqrt[3]{{{x}^{2}}} \right)}{3\sqrt[3]{x}}\] tali che \[\underset{x\to {{0}^{\pm }}}{\mathop{\lim }}\,\frac{2\left( 1+{{\tan }^{2}}\left( \sqrt[3]{{{x}^{2}}} \right) \right)}{3\sqrt[3]{x}}=\frac{1}{{{0}^{\pm }}}=\pm \infty \quad \quad \underset{x\to {{0}^{\pm }}}{\mathop{\lim }}\,\frac{2\cos \left( \sqrt[3]{x} \right)}{3\sqrt[3]{x}}=\frac{1}{{{0}^{\pm }}}=\pm \infty \]il che dimostra che le funzioni non sono derivabili in \(x=0\), punto “cuspidale” per i grafici di entrambe le funzioni.
Tuttavia, le funzioni \[h\left( x \right)=\tan \left( \sqrt[3]{x} \right)-\sin \left( \sqrt[3]{x} \right)\quad \quad k\left( x \right)=\tan \left( \sqrt[3]{{{x}^{2}}} \right)-\sin \left( \sqrt[3]{{{x}^{2}}} \right)\]le cui derivate sono \[h'\left( x \right)=\frac{1+{{\tan }^{2}}\left( \sqrt[3]{x} \right)-\cos \left( \sqrt[3]{x} \right)}{3\sqrt[3]{{{x}^{2}}}}\quad \quad k'\left( x \right)=\frac{2\left( 1+{{\tan }^{2}}\left( \sqrt[3]{{{x}^{2}}} \right)-\cos \left( \sqrt[3]{{{x}^{2}}} \right) \right)}{3\sqrt[3]{x}}\]sono entrambe derivabili anche in \(x=0\), essendo: \[\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{1+{{\tan }^{2}}\left( \sqrt[3]{x} \right)-\cos \left( \sqrt[3]{x} \right)}{3\sqrt[3]{{{x}^{2}}}}=\underset{t\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{\tan }^{2}}t}{3{{t}^{2}}}+\underset{t\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{1-\cos t}{3{{t}^{2}}}=\frac{1}{2}\]\[\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{2\left( 1+{{\tan }^{2}}\left( \sqrt[3]{{{x}^{2}}} \right)-\cos \left( \sqrt[3]{{{x}^{2}}} \right) \right)}{3\sqrt[3]{x}}=\frac{2}{3}\left( \underset{t\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{\tan }^{2}}\left( {{t}^{2}} \right)}{t}+\underset{t\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{1-\cos \left( {{t}^{2}} \right)}{t} \right)=\frac{2}{3}\left( 0+0 \right)=0\quad .\]
Massimo Bergamini