Punti stazionari

Massimo Bergamini
Ricevo da Francesca la seguente domanda:
 
Buonasera Professor Bergamini,
avrei un dubbio: calcolare la derivata e determinare i punti stazionari della funzione \[y=\ln \left( \frac{{{x}^{2}}+1}{{{x}^{2}}-2x} \right)\quad .\]
Grazie!!
 
Le rispondo così:
 
Cara Francesca,
osserviamo innanzitutto che la funzione è definita, continua e derivabile nel dominio \(D=\left] -\infty ,0 \right[\cup \left] 2,+\infty \right[\). La funzione derivata si ricava nel modo seguente: \[y'=\frac{\left( {{x}^{2}}-2x \right)}{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}\cdot \frac{2x\left( {{x}^{2}}-2x \right)-\left( {{x}^{2}}+1 \right)\left( 2x-2 \right)}{{{\left( {{x}^{2}}-2x \right)}^{2}}}=\frac{-2\left( {{x}^{2}}+x-1 \right)}{x\left( {{x}^{2}}+1 \right)\left( x-2 \right)}\] per cui gli eventuali punti stazionari vanno cercati tra le soluzioni dell’equazione \({{x}^{2}}+x-1=0\), cioè \({{x}_{1,2}}=\frac{-1\pm \sqrt{5}}{2}\); di queste, solo \(x=-\frac{1+\sqrt{5}}{2}\) appartiene al dominio; in tale punto si realizza un minimo relativo, come si deduce dal segno della derivata in un suo intorno, prima negativo poi positivo.
 
 
Massimo Bergamini

Per la lezione

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