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L'esperto di matematica

Equazioni goniometriche

Ricevo da Leonardo le seguenti equazioni: 1) \(4\cos^2 x + \csc^2 x-7=0\) 2) \(\sin(4x)-\cos(4x)-1=0\) .
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Ricevo da Leonardo la seguente domanda:
 
Gent.mo Professore,
non riesco a risolvere queste due equazioni goniometriche (Matematica.blu2.0, pag. 814 n. 357 e 371):
1) \(4\cos^2 x + \csc^2 x-7=0\)
2) \(\sin(4x)-\cos(4x)-1=0\)
Grazie.
 
Gli rispondo così:
 
Caro Leonardo,
nel primo caso possiamo trasformare l’equazione in un’equazione biquadratica in \(\sin x\): \[4{{\cos }^{2}}x+\frac{1}{{{\sin }^{2}}x}-7=0\to x\ne k\pi \to 4{{\cos }^{2}}x{{\sin }^{2}}x+1-7{{\sin }^{2}}x=0\to \]
\[\to 4\left( 1-{{\sin }^{2}}x \right){{\sin }^{2}}x+1-7{{\sin }^{2}}x=0\to 4{{\sin }^{4}}x+3{{\sin }^{2}}x-1=0\to \]
\[\to {{\sin }^{2}}x=\frac{-3\pm \sqrt{25}}{8}\to {{\sin }^{2}}x=\frac{1}{4}\vee {{\sin }^{2}}x=-1\quad .\]
La sola relazione accettabile è \({{\sin }^{2}}x=\frac{1}{4}\), da cui \(\sin x=\pm \frac{1}{2}\), cioè \(x=\pm \frac{\pi }{6}+2k\pi \vee x=\pm \frac{5\pi }{6}+2k\pi\), o, in modo equivalente, \(x=\pm \frac{\pi }{6}+k\pi\).
Nel secondo caso, poniamo \(\cos 4x=X\) e \(\sin 4x=Y\), quindi risolviamo il sistema formato dalle equazioni \(Y-X-1=0\) e \({{X}^{2}}+{{Y}^{2}}=1\), cioè: \({{X}^{2}}+{{X}^{2}}+1+2X=1\to X\left( X+1 \right)=0\), da cui le coppie \(X=0,Y=1\) o \(X=-1,Y=0\), corrispondenti l’una a valori di \(4x\) dati da \(\frac{\pi }{2}+2k\pi\), l’altra a valori \(\pi +2k\pi\), per cui: \[4x=\frac{\pi }{2}+2k\pi \to x=\frac{\pi }{8}+k\frac{\pi }{2}\vee 4x=\pi +2k\pi \to x=\frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2}\quad .\]
Massimo Bergamini

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