Ricevo da Elisa la seguente domanda:
Caro professore,
ho il seguente problema:
dopo aver rappresentato nel piano cartesiano ortogonale \(Oxyz\) i punti \(A(-2,1,0)\), \(B(1,2,0)\) e \(C(0,0,6)\) verificare che il triangolo \(OAB\) è rettangolo isoscele. Calcolare il volume e la superficie totale della piramide \(OABC\). Il piano \(\alpha\) passante per i baricentri delle facce laterali della piramide suddetta di vertice \(C\) incontra gli spigoli \(CA\), \(CB\), \(CO\) in \(M\), \(N\), e \(P\); calcolare il volume della piramide \(MNPC\).
Grazie mille.
Le rispondo così:
Cara Elisa,
facilmente si verifica che, essendo \(OA=OB=\sqrt{5}\) e \(AB=\sqrt{10}\), il triangolo è isoscele e rettangolo in \(O\), essendo \(A{{B}^{2}}=O{{A}^{2}}+O{{B}^{2}}\). Il volume \(V\) e la superficie totale \(S\) della piramide \(OABC\), posto che \(AC=BC=\sqrt{41}\) e \(CH^2=CA^2-HA^2=77/2\), sono: \[V=\frac{1}{3}\cdot \frac{5}{2}\cdot 6=5\quad \quad S=2\cdot 3\sqrt{5}+\frac{5}{2}+\frac{\sqrt{385}}{2}\approx 27,854\quad .\] I baricentri delle facce possono essere ottenuti come medie delle coordinate dei vertici dei rispettivi triangoli, cioè: \[{{K}_{1}}\left( -\frac{2}{3},\frac{1}{3},2 \right)\quad {{K}_{2}}\left( \frac{1}{3},\frac{2}{3},0 \right)\quad {{K}_{3}}\left( -\frac{1}{3},1,2 \right)\] per cui il piano \(\alpha\) è parallelo al piano \(xy\) ed è costituito dall’insieme dei punti aventi \(z=2\). La piramide \(MNPC\) è la corrispondente della piramide \(OABC\) in una omotetia di centro \(C\) e fattore di scala \(k=\frac{2}{3}\) per cui il suo volume è pari a \({{k}^{3}}=\frac{8}{27}\) volte quello della piramide \(OABC\), cioè misura \(40/27\).
Massimo Bergamini