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Un problema di geometria solida

Ricevo da Elisa il seguente quesito: Un prisma esagonale regolare è tagliato da un piano passante per il centro della base e per due verici oopposti del prisma. Tale sezione è un rettangolo la cui area è \(1000\) e la cui base sta all’altezza come \(5\) sta a \(8\). Trovare la superficie totale del prisma.
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Ricevo da Elisa la seguente domanda:
 
Caro professore,
non ho saputo disegnare la figura del solido di questo quesito:
Un prisma esagonale regolare è tagliato da un piano passante per il centro della base e per due verici oopposti del prisma. Tale sezione è un rettangolo la cui area è \(1000\) e la cui base sta all’altezza come \(5\) sta a \(8\). Trovare la superficie totale del prisma.
Grazie mille.
 
Le rispondo così:
 
Cara Elisa,
con riferimento alla figura, poniamo \(x=BE\) e \(y=BB’=GH\); si ha per ipotesi: \(xy=1000\), \(8x=5y\), da cui si ricava che \(x=25\) e \(y=40\). Poiché le basi esagonali sono formate ciascuna da sei triangoli equilateri il cui lato è pari a \(x/2\), si ha la superficie totale \(S\) del prisma:          \[S=6\left( 40\cdot \frac{25}{2} \right)+12\left( \frac{\sqrt{3}}{4}\cdot \frac{25}{2} \right)=3000+\frac{75}{2}\sqrt{3}\approx 3064,952\quad .\]
Massimo Bergamini  

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