Ricevo da Asia la seguente domanda:
Salve,
mi potrebbe aiutare nello svolgimento dello studio completo di questa funzione?
\[f\left( x \right)=\ln \left| \arctan x \right|\]
Grazie mille.
Le rispondo così:
Cara Asia,
la funzione, definita in \(\mathbb{R}-\left\{ 0 \right\}\), è pari (essendo \(\arctan x\) dispari), positiva per \(x<-\tan \left( 1 \right)\vee x>\tan \left( 1 \right)\), e tale che\[\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\ln \frac{\pi }{2}\quad \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=-\infty \quad .\] Il grafico della funzione presenta quindi un asintoto orizzontale, la retta \(x=\ln \frac{\pi }{2}\), e un asintoto verticale, l’asse delle ordinate. Consideriamo le derivate prima e seconda: \[f'\left( x \right)=\frac{1}{\left( 1+{{x}^{2}} \right)\arctan x}\quad \quad f''\left( x \right)=-\frac{1+2x\arctan x}{{{\left( 1+{{x}^{2}} \right)}^{2}}{{\arctan }^{2}}x}\] da cui si ricava che \(f'\left( x \right)<0\) per \(x<0\) (decrescente) e \(f'\left( x \right)>0\) per \(x>0\) (crescente), senza punti stazionari, e \(f''\left( x \right)<0\) per ogni \[x\in \mathbb{R}-\left\{ 0 \right\}\] (\(x\arctan x>0\) per ogni \(x\ne 0\), essendo dispari entrambi i fattori), per cui la concavità del grafico è sempre rivolta verso il basso, e non sono presenti punti di flesso.
Massimo Bergamini