Ricevo da Leonardo la seguente domanda:Gent.mo professore,le chiedo un aiuto nella risoluzione del seguente esercizio (Matematica.blu.2.0, n.311, pag.1395):Se \(f\left( {{\left( x-1 \right)}^{-1}} \right)={{x}^{-1}}\), allora \(f(x)\) è:A) \({\left( x-1 \right)}^{-1}\).B) \(\frac{x}{x+1}\).C) \(\frac{x+1}{x}\).D) \(\frac{1}{x}-x\).E) Nessuna delle precedenti. Grazie mille.Gli rispondo così:Caro Leonardo,posto \(g\left( x \right)={{\left( x-1 \right)}^{-1}}\), possiamo riformulare l’ipotesi in questo modo: \[h\left( x \right)=\left( f\circ g \right)\left( x \right)={{x}^{-1}}\] da cui consegue che \[f\left( x \right)=h\left( x \right)\circ {{g}^{-1}}\left( x \right)\quad .\] Ricaviamo quindi la funzione inversa di \(g\left( x \right)={{\left( x-1 \right)}^{-1}}\): \[y=\frac{1}{x-1}\to xy-y=1\to x=\frac{y+1}{y}\to {{g}^{-1}}\left( x \right)=\frac{x+1}{x},\quad x\ne 0\] e componiamo con \(h\left( x \right)={{x}^{-1}}\) per ottenere \(f(x)\): \[f\left( x \right)=h\left( x \right)\circ {{g}^{-1}}\left( x \right)=\frac{1}{\left( x+1 \right)/x}=\frac{x}{x+1}\quad .\] Massimo Bergamini
