Le rispondo così:
Cara Nadia,
posto che possiamo così riscrivere la funzione assegnata:
\[f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} x^2+x+3\quad x\ge -3 \\ x^2-x-3 \quad x<-3 \end{array} \right.\] possiamo concludere che la funzione, ovunque definita e continua in \(\mathbb{R}\), è derivabile in \(x\in \mathbb{R}-\left\{ -3 \right\}\), avendo per derivata la seguente: \[f’(x)=\left\{ \begin{array}{ll} 2x+1\quad x> -3 \\ 2x-1 \quad x<-3 \end{array} \right.\] mentre il punto \(A(-3;9)\) rappresenta per il grafico di \(f(x)\) un punto angoloso, in cui viene meno la derivabilità e la possibilità di definire una retta tangente, potendosi dire che in \(A\) il grafico presenta due semirette tangenti distinte: da destra, la semiretta di origine \(A\) appartenente alla retta \(y=-5x-6\), da sinistra la semiretta di origine \(A\) appartenente alla retta \(y=-7x-12\). Non vi sono rette tangenti al grafico di \(f(x)\) che siano parallele all’asse delle ordinate.
Massimo Bergamini
