Punti di flesso

Ricevo da Rosa la seguente domanda: Caro professore, se \(c\) è un punto interno all'intervallo \(I\) in cui la funzione \(f(x)\) è definita e continua, affinchè \(c\) sia punto di flesso è necessaria la derivabilità della funzione in \(c\)? Ok il flesso a tangente verticale ma, in particolare, un punto angoloso può essere punto di flesso? Alcuni testi richiedono \(f(x)\) continua in \(I\) con le sue derivate prima e seconda.... Grazie! Le rispondo così: Cara Rosa, in effetti si trovano, nei vari testi, definizioni in parte incompatibili... In una definizione meno restrittiva, posto che in \(c\) e in un suo intorno la funzione sia definita e continua, si dice che \(c\) definisce un punto di flesso se in corrispondenza ad esso la concavità della funzione cambia verso: poiché la concavità risulta definita in genere in termini di collocazione del grafico rispetto alla retta tangente, questo implica che tale retta debba esistere almeno in un intorno di \(c\), al più escluso \(c\) stesso, cioè che la funzione debba essere derivabile in un intorno di \(c\), ma non necessariamente in \(c\); quindi un punto angoloso con cambia di concavità può essere, in tal senso, un flesso (esempio: la funzione \(f(x)=|x(x-1)|\) in \(x=0\) o in \(x=1\)). In molti casi, invece, un punto angoloso, anche laddove rappresenti un punto in cui la concavità cambi verso, non viene classificato come "flesso", poichè viene richiesta l'esistenza della retta tangente (eventualmente verticale) anche in tale punto. In questa definizione più restrittiva, si classifica come “flesso” un punto \(P\) del grafico di \(f(x)\) tale che, almeno in un intorno sufficientemente piccolo \(I(c)\) dell’ascissa \(c\) di \(P\), il grafico si trovi da parti opposte rispetto alla retta tangente nei punti le cui ascisse appartengono ai semi-intorni destro/sinistro di \(c\) contenuti in \(I(c)\), cioè la retta tangente deve "attraversare" il grafico in \(P\). Se quindi escludiamo il caso “flesso a tangente verticale”, per tale definizione risulta necessaria l'esistenza almeno della derivata prima nel punto, essendo presupposta l'esistenza della retta tangente. Si noti che comunque non è strettamente necessario che la funzione sia derivabile due volte nel punto \(c\) perchè tale punto possa definire un flesso: ad esempio, la funzione \(f(x)=x^2\) per \(x>0\), \(f(x)=-x^2\) per \(x\le 0\) ammette derivata prima in \(x=0\) e la retta tangente in \(0\), cioè l’asse \(x\), attraversa il grafico, per cui \((0,0)\) è punto di flesso, ma in \(x=0\) la funzione non amette derivata seconda. Se poi, in particolare, la funzione è derivabile due volte in \(c\), allora necessariamente, se \((c,f(c))\) è un flesso, si ha \(f''(c)=0\) (il viceversa non è vero, cioè la condizione \(f''(x)=0\) non è sufficiente perchè si abbia un flesso in \(P(x,f(x))\), es.: \(y=x^4\) in \(x=0\)). In conclusione, si tratta solo di capire in partenza a quale convenzione si voglia “aderire”! Massimo Bergamini

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