Contare i numeri

Ricevo da Marinella la seguente domanda: Professore, da un paio di giorni sto impazzendo sopra questo esercizio (n.36, pag.47\(\alpha\), Matematica Blu 2.0), purtroppo senza risultati apprezzabili. Mi farebbe vedere lo svolgimento? Grazie. Dati i numeri \(2,3,4,5,6,7\), calcola quanti prodotti con \(4\) fattori diversi si possono fare tali che: a) siano divisibili per \(7\); b) siano divisibili per \(6\); c) siano divisibili per \(8\); d) siano pari; e) siano dispari. Le rispondo così: Cara Marinella, la divisibilità per \(7\) la possiamo avere solo includendo \(7\) tra i \(4\) fattori, per cui si tratta di contare in quanti modi possiamo scegliere gli altri \(3\) tra i \(5\) rimasti, cioè le combinazioni di \(5\) oggetti distinti presi \(3\) a \(3\): \({{C}_{5,3}}=\frac{5!}{3!2!}=10\). La divisibilità per \(6\) si può ottenere in tre casi: includendo il \(6\), e lo possiamo fare in \(10\) modi distinti esattamente come prima, oppure includendo sia il \(2\) che il \(3\), ma escludendo il \(6\) per non conteggiare di nuovo i modi già considerati, e poiché rimangono fuori \(3\) numeri per due posti da occupare, questo caso si può fare in \({{C}_{3,2}}=\frac{3!}{2!1!}=3\) modi distinti, oppure includendo sia il \(3\) che il \(4\) ma lasciando fuori \(2\) e \(6\), sempre per non ripetere, e questo lo si può fare in un unico modo, cioè \(3\cdot 4\cdot 5\cdot 7\); totale, \(10+3+1=14\) modi distinti. La divisibilità per \(8\) si può ottenere in due casi: includendo sia il \(2\) che il \(4\), e lo possiamo fare in \({{C}_{4,2}}=\frac{4!}{2!2!}=6\) modi distinti, oppure includendo sia il \(6\) che il \(4\), ma escludendo il \(2\) per non conteggiare di nuovo i modi già considerati, e questo si può fare in \({{C}_{3,2}}=\frac{3!}{2!1!}=3\) modi distinti; totale, \(6+3=9\) modi distinti. La parità si può ottenere in tre casi: includendo il \(2\), e lo possiamo fare in \(10\) modi distinti, oppure includendo il \(4\) ma escludendo il \(2\), e questo caso si può fare in \({{C}_{4,3}}=\frac{4!}{3!1!}=4\) modi distinti, oppure includendo il \(6\) ma lasciando fuori \(2\) e \(4\), sempre per non ripetere, e questo lo si può fare in un unico modo, cioè \(3\cdot 5\cdot 6\cdot 7\); totale, \(10+4+1=15\) modi distinti. Infine, è chiaro che non vi è alcun modo di ottenere un prodotto dispari scegliendo \(4\) distinti fattori da questi numeri, dal momento che solo \(3\) fra essi sono dispari. Massimo Bergamini

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