Caro Ferdinando,
nel primo caso si ottengono due equazioni, a seconda che \(N\) si trovi sull'arco compreso nella parte di piano che contiene il centro, e quindi veda la corda \(LM\) sotto un angolo di \(60^\circ\), oppure sull'altro arco, e veda la stessa corda sotto un angolo di \(120^\circ\).
Nella prima ipotesi, essendo \[LN=10\sin \left( 120{}^\circ -x \right)\quad MN=10\sin x\] l'equazione per \(x\), che ha limitazioni \(0<x<120^\circ\), è \[\left( 3+\sqrt{3} \right){{\tan }^{2}}x-2\sqrt{3}\tan x+\sqrt{3}-3=0\] le cui soluzioni \(\tan x=1\vee \tan x=-2+\sqrt{3}\) danno l’angolo accettabile \(x=45{}^\circ .\) Nella seconda ipotesi, l’equazione diventa \[\left( 3+\sqrt{3} \right){{\tan }^{2}}x+2\sqrt{3}\tan x+\sqrt{3}-3=0\]con le limitazioni \(0<x<60^\circ\), le cui soluzioni \(\tan x=-1\vee \tan x=2-\sqrt{3}\) danno l’angolo accettabile \(x=15{}^\circ .\)
Nel 2° caso, il problema si risolve ricordando il \(2^\circ\) teorema di Euclide. Infatti, posto che il diametro \(AB\) misuri \(10\), detto \(H\) il punto di intersezione tra \(AB\) e \(MN\), il triangolo rettangolo \(ABM\) ha l'altezza relativa all'ipotenusa, cioè \(MH\), tale che \(AH:MH=MH:HB\), da cui \(MH=\sqrt{21}\). Poichè l'angolo \(B\hat{A}M=\frac{x}{2}\) è tale che \(\tan \frac{x}{2}=\frac{\sqrt{21}}{7}\), si ha \[\sin x=\frac{2\tan \left( x/2 \right)}{1+{{\tan }^{2}}\left( x/2 \right)}=\frac{\sqrt{21}}{5}\to 2x=2\arcsin \left( \frac{\sqrt{21}}{5} \right)\quad .\]
Massimo Bergamini
