L'esperto di matematica
Piramidi
Chiara propone il seguente problema di geometria solida:
Una piramide ha per base il triangolo \(ABC\) rettangolo in \(B\) tale che \(\sin B\hat{A}C=\frac{3}{5}\), e ha per altezza il segmento \(BV\) congruente a \(BC\) e di lunghezza \(6\). Determina un punto \(H\) sullo spigolo \(AB\) in modo che, detto \(D\) il punto di intersezione tra la perpendicolare al piano di base della piramide passante per \(H\) e lo spigolo \(AV\), il volume della piramide di vertice \(H\) e base la sezione della piramide data con il piano parallelo al piano di base passante per \(D\) sia pari ai \(3/64\) del volume di \(ABCV\).
leggi
Cara Chiara,
con riferimento alla figura, ricaviamo le misure del triangolo \(ABC\):\[AC\sin \alpha =6\to AC=\frac{5}{3}6=10,\quad AB=\sqrt{{{10}^{2}}-{{6}^{2}}}=8\]per cui il volume \(V_1\) della piramide \(ABCV\) è:
\[{{V}_{1}}=\frac{1}{3}{{S}_{ABC}}\cdot \overline{VB}=\frac{1}{3}\cdot 24\cdot 6=48\quad .\]
Ne consegue che il volume \(V_2\) della piramide \(DEFH\) deve essere \(\frac{9}{4}\). Posto \(x=BH=DE\) e \(y=EF=VE\), si ha, per la similitudine tra i triangoli \(ABV\) e \(DEV\), \(x:y=8:6\), cioè \(y=3x/4\), e di conseguenza \(DH=BE=6-y=\frac{24-3x}{4}\). Il volume \(V_2\), in termini di \(x\), è quindi il seguente: \[{{V}_{2}}=\frac{1}{3}\cdot \frac{3}{8}{{x}^{2}}\cdot \frac{24-3x}{4}=\frac{(24-3x)x^2}{32}\] e pertanto si ha che \(x=HB\) deve essere soluzione della seguente equazione: \[x^3-8x^2+24=0\to (x-2)(x^2-6x-12)=0\to x=2\vee x=3+\sqrt{21}\quad .\]
Massimo Bergamini
