L'esperto di matematica
Un problema di minimo
Ricevo da Valeria il seguente problema:
Sia data la circonferenza di raggio \(r\) e centro \(O\). Fissato un suo diametro \(AB\) e un suo punto \(C\), siano \(r\) la retta tangente alla circonferenza in \(C\) ed \(s\) la retta per \(O\) e perpendicolare al diametro. Detto \(D\) il punto di intersezione tra le due rette, determina l'angolo \(B\hat{O}C\) in modo che la differenza tra l'area del triangolo \(AOD\) e la metà dell'area del triangolo \(COD\) sia minima.
leggi
Cara Valeria,
posto \(x=B\hat{O}C\), con \(0<x<\pi\) (nella semicirconferenza inferiore si ripetono simmetricamente le relazioni geometriche già considerate in quella superiore), si ha: \[OD=\frac{OC}{\sin x}=\frac{r}{\sin x}\quad CD=\frac{r\cos x}{\sin x}\]da cui: \[{{S}_{AOD}}=\frac{1}{2}AO\cdot OD=\frac{{{r}^{2}}}{2\sin x}\quad {{S}_{COD}}=\frac{1}{2}DC\cdot OC=\frac{{{r}^{2}}\cos x}{2\sin x}\] e quindi la funzione di cui cercare il minimo è \[f\left( x \right)={{S}_{AOD}}-\frac{1}{2}{{S}_{COD}}=\frac{{{r}^{2}}\left( 2-\cos x \right)}{4\sin x}\quad .\] Derivando \(f(x)\) e studiandone zeri e segno nell’intervallo \(0<x<\pi\) si ricava il minimo cercato: \[f'\left( x \right)=\frac{{{r}^{2}}\left( {{\sin }^{2}}x-\left( 2-\cos x \right)\cos x \right)}{4{{\sin }^{2}}x}=\frac{{{r}^{2}}\left( 1-2\cos x \right)}{4{{\sin }^{2}}x}\to \]\[\to f'\left( x \right)=0\leftrightarrow 1-2\cos x=0\to \cos x=\frac{1}{2}\to x=\frac{\pi }{3}\quad .\]
Massimo Bergamini
