Ricevo da Elisa la seguente domanda: Caro professore, non sono riuscita a fare questi integrali: \[\int{\frac{\sqrt{1+\ln x}}{x\ln x}dx\quad \quad }\int{{{x}^{2}}\sqrt{4-{{x}^{2}}}dx\quad\quad} \int{\frac{1}{x\sqrt{{{x}^{2}}-2}}dx\quad .}\] Grazie mille. Le rispondo così: Cara Elisa, operiamo in ciascun caso opportune sostituzioni di variabile. Nel primo caso: \[t=\ln x\to dt=\frac{1}{x}dx\to \int{\frac{\sqrt{1+\ln x}}{x\ln x}dx=}\int{\frac{\sqrt{1+t}}{t}dt}\]\[\sqrt{1+t}=p\to t={{p}^{2}}-1\to dt=2pdp\to \int{\frac{\sqrt{1+t}}{t}dt}=2\int{\frac{{{p}^{2}}}{{{p}^{2}}-1}dp}\to \]\[\to 2\int{\frac{{{p}^{2}}}{{{p}^{2}}-1}dp=}2\int{dp+\int{\frac{1}{p-1}dp-}\int{\frac{1}{p+1}dp}=}2p+\ln \left| p-1 \right|+\ln \left| p+1 \right|+c=\]\[2\sqrt{1+\ln x}+\ln \left| \frac{\sqrt{1+\ln x}-1}{\sqrt{1+\ln x}+1} \right|+c=2\sqrt{1+\ln x}+2\ln \left| \sqrt{1+\ln x}-1 \right|-\ln \left( \ln x \right)+c\quad .\] Nel secondo caso: \[\frac{x}{2}=\sin t\to dx=2\cos tdt\to \int{{{x}^{2}}\sqrt{4-{{x}^{2}}}dx}=2\int{{{x}^{2}}\sqrt{1-{{\left( \frac{x}{2} \right)}^{2}}}dx=16\int{{{\sin }^{2}}t{{\cos }^{2}}tdt}}=\] \[=16\int{{{\sin }^{2}}t{{\cos }^{2}}tdt}=2\int{2{{\sin }^{2}}\left( 2t \right)dt}=2t-\sin 2t\cos 2t+c=\]\[=2t-2\sin t\cos t\left( 1-2{{\sin }^{2}}t \right)+c=2\arcsin \left( \frac{x}{2} \right)+\frac{{{x}^{3}}}{4}\sqrt{4-{{x}^{2}}}-\frac{x}{2}\sqrt{4-{{x}^{2}}}+c\quad .\] Nel terzo caso: \[\sqrt{{{x}^{2}}-2}=t\to dx=\frac{t}{\sqrt{2+{{t}^{2}}}}dt\to \int{\frac{1}{x\sqrt{{{x}^{2}}-2}}dx}=\int{\frac{1}{2+{{t}^{2}}}dt=}\]\[=\int{\frac{1}{2+{{t}^{2}}}dt=}\frac{1}{\sqrt{2}}\int{\frac{1/\sqrt{2}}{1+{{\left( t/\sqrt{2} \right)}^{2}}}dt=}\frac{1}{\sqrt{2}}\arctan \left( \frac{t}{\sqrt{2}} \right)+c=\frac{1}{\sqrt{2}}\arctan \left( \sqrt{\frac{{{x}^{2}}-2}{2}} \right)+c\quad .\] Massimo Bergamini
