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L'esperto di matematica

Un limite

Calogero chiede aiuto per il calcolo del seguente limite: \[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt[3]{{{x}^{3}}+x}-\sqrt[3]{{{x}^{3}}-x}}{x}\]
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Ricevo da Calogero la seguente domanda:   Salve, non so risolvere questo limite (n.138 pag. 1520 Manuale Blu 2.0 di matematica):                       \[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt[3]{{{x}^{3}}+x}-\sqrt[3]{{{x}^{3}}-x}}{x}\] Grazie mille.   Gli rispondo così:   Caro Calogero, il numeratore della frazione algebrica si presenta come una forma indeterminata del tipo \(+\infty-\infty\), ma è sufficiente “raccogliere” fuori dalle radici i fattori di grado maggiore per ottenere una semplificazione immediata dell’espressione e del relativo limite:  \[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt[3]{{{x}^{3}}+x}-\sqrt[3]{{{x}^{3}}-x}}{x}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt[3]{{{x}^{3}}\left( 1+\frac{1}{{{x}^{2}}} \right)}-\sqrt[3]{{{x}^{3}}\left( 1-\frac{1}{{{x}^{2}}} \right)}}{x}=\]\[=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{x\left( \sqrt[3]{1+\frac{1}{{{x}^{2}}}}-\sqrt[3]{1-\frac{1}{{{x}^{2}}}} \right)}{x}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \sqrt[3]{1+\frac{1}{{{x}^{2}}}}-\sqrt[3]{1-\frac{1}{{{x}^{2}}}} \right)=\]\[=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\sqrt[3]{1+\frac{1}{{{x}^{2}}}}-\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\sqrt[3]{1-\frac{1}{{{x}^{2}}}}=\sqrt[3]{1+\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{{{x}^{2}}}}-\sqrt[3]{1-\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{{{x}^{2}}}}=\]\[=\sqrt[3]{1+0}-\sqrt[3]{1-0}=1-1=0\quad .\] Massimo Bergamini

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