Un limite da verificare

Ricevo da Filomena la seguente domanda:

 

Buonasera Professore,

non so proprio come risolvere questo problema:

Verificare l’uguaglianza applicando la definizione di limite:

                                      \[\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{3}^{\frac{1}{x}}}=1\quad .\]

Grazie mille.

 

Le rispondo così:

 

Cara Filomena,

il limite in questione è equivalente alla seguente coppia di limiti: \[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{3}^{\frac{1}{x}}}=1\quad \quad \underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,{{3}^{\frac{1}{x}}}=1\]che a loro volta esprimono sinteticamente le seguenti proposizioni:

\[\forall \varepsilon >0\ \exists {{M}_{\varepsilon }}>0:se\ x\in {{\mathbb{R}}_{0}}\wedge x>{{M}_{\varepsilon }}\Rightarrow \left| {{3}^{\frac{1}{x}}}-1 \right|<\varepsilon \]\[\forall \varepsilon >0\ \exists {{N}_{\varepsilon }}>0:se\ x\in {{\mathbb{R}}_{0}}\wedge x<-{{N}_{\varepsilon }}\Rightarrow \left| {{3}^{\frac{1}{x}}}-1 \right|<\varepsilon \quad .\]

Si tratta quindi, in entrambi i casi, di risolvere il seguente sistema: \[\left\{ \begin{array}{ll} {{3}^{\frac{1}{x}}}-1<\varepsilon  \\   {{3}^{\frac{1}{x}}}-1>-\varepsilon \end{array} \right.\] \[\left\{ \begin{array}{ll}\frac{1}{x}<{{\log }_{3}}\left( 1+\varepsilon  \right)  \\   \frac{1}{x}>{{\log }_{3}}\left( 1-\varepsilon  \right)  \\ \end{array} \right.\] \[\left\{ \begin{array}{ll}\frac{1-x{{\log }_{3}}\left( 1+\varepsilon  \right)  }{x}<0 \\   \frac{1-x{{\log }_{3}}\left( 1-\varepsilon  \right)  }{x}>0\\ \end{array} \right.\] La prima delle due disequazioni è risolta per \(x<0\vee x>\frac{1}{{{\log }_{3}}\left( 1+\varepsilon  \right)}\), mentre la seconda, tenendo conto che \({{\log }_{3}}\left( 1-\varepsilon  \right)<0\), è risolta per \(x<\frac{1}{{{\log }_{3}}\left( 1-\varepsilon  \right)}\vee x>0\), per cui, complessivamente, il sistema ha le seguenti soluzioni: \[x<\frac{1}{{{\log }_{3}}\left( 1-\varepsilon  \right)}\vee x>\frac{1}{{{\log }_{3}}\left( 1+\varepsilon  \right)}\] e pertanto: nella verifica che \(\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{3}^{\frac{1}{x}}}=1\) si considera \({{M}_{\varepsilon }}=\frac{1}{{{\log }_{3}}\left( 1+\varepsilon  \right)}\), mentre nella verifica che \(\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,{{3}^{\frac{1}{x}}}=1\) si considera \(-{{N}_{\varepsilon }}=\frac{1}{{{\log }_{3}}\left( 1-\varepsilon  \right)}\).

Si noti che i valori assoluti di \({{M}_{\varepsilon }}\) e \({{N}_{\varepsilon }}\) sono tanto più “vicini a infinito” quanto più \(\varepsilon\) è vicino a \(0\).

 

Massimo Bergamini

Per la lezione

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