\[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( {{e}^{\sin \frac{1}{\sqrt{x}}}}-1 \right)\frac{{{x}^{3}}-\cos x+2x\sin x}{x{{e}^{x}}-4}{{2}^{x}}\]
Grazie. Gli rispondo così: Caro Antonio, modifichiamo l’espressione in modo da far comparire rapporti “notevoli”: \[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( {{e}^{\sin \frac{1}{\sqrt{x}}}}-1 \right)\frac{{{x}^{3}}-\cos x+2x\sin x}{x{{e}^{x}}-4}{{2}^{x}}=\]\[=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{{{e}^{\sin \frac{1}{\sqrt{x}}}}-1}{^{\sin \frac{1}{\sqrt{x}}}} \right)\cdot \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{^{\sin \frac{1}{\sqrt{x}}}}{^{\frac{1}{\sqrt{x}}}} \right)\cdot \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{2}^{x}}{{x}^{3}}\left( 1-\cos x/{{x}^{3}}+2\sin x/{{x}^{2}} \right)}{x\sqrt{x}{{e}^{x}}\left( 1-4/\left( x{{e}^{x}} \right) \right)}=\]\[=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{{{e}^{\sin \frac{1}{\sqrt{x}}}}-1}{^{\sin \frac{1}{\sqrt{x}}}} \right)\cdot \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{^{\sin \frac{1}{\sqrt{x}}}}{^{\frac{1}{\sqrt{x}}}} \right)\cdot \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{1-\cos x/{{x}^{3}}+2\sin x/{{x}^{2}}}{1-4/\left( x{{e}^{x}} \right)} \right)\cdot \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{\frac{3}{2}}}}{{{e}^{(1-\ln 2)x}}}=\]\[=1\cdot 1\cdot 1\cdot 0=0\] essendo \({{e}^{\left( 1-\ln 2 \right)x}}\) un infinito di ordine superiore a \({{x}^{3/2}}\) nel limite per \(x\to +\infty\), in quanto esponenziale di base maggiore di \(1\), dal momento che \(1-\ln 2>0\). Massimo BergaminiUn limite
Antonio propone il calcolo del seguente limite:
\[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( {{e}^{\sin \frac{1}{\sqrt{x}}}}-1 \right)\frac{{{x}^{3}}-\cos x+2x\sin x}{x{{e}^{x}}-4}{{2}^{x}}\]