nel primo caso sia \(A(k,0)\) un generico punto dell’asse \(x\): il punto \(B(0,2s/k)\) sull’asse \(y\) è tale che il triangolo \(ABO\) ha area \(s\), per cui la famiglia delle rette \(AB\) è quella cercata, almeno per quanto riguarda le rette del primo e terzo quadrante: trovato il luogo \(\gamma\) definito da queste rette, il luogo \(\gamma^\prime\) simmetrico di \(\gamma\) rispetto all’asse \(x\), unito a \(\gamma\), fornirà il luogo cercato. Le equazioni della retta \(r\) per \(AB\) e della sua perpendicolare \(t\) passante per \(O\) sono \[r:y=-\frac{2s}{{{k}^{2}}}x+\frac{2s}{k}\quad \quad \quad t:y=\frac{{{k}^{2}}}{2s}x\] per \(k\ne 0\) (per \(k\to 0\) si ha la situazione limite di \(r\) e \(t\) coincidenti con gli assi coordinati e \(P\to O\)). Pertanto le coordinate di \(P\) sono \[x=\frac{4{{s}^{2}}k}{{{k}^{4}}+4{{s}^{2}}}\quad \quad y=\frac{2s{{k}^{3}}}{{{k}^{4}}+4{{s}^{2}}}\] da cui, sommando i quadrati e utilizzando l’uguaglianza \({{k}^{2}}=\frac{2sy}{x}\): \[{{x}^{2}}+{{y}^{2}}=\frac{4{{s}^{2}}{{k}^{2}}}{{{k}^{4}}+4{{s}^{2}}}\to {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=\frac{4{{s}^{2}}\left( 2sy/x \right)}{{{\left( 2sy/x \right)}^{2}}+4{{s}^{2}}}=\frac{2sxy}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}\to \]\[\to {{\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)}^{2}}=2sxy\quad x,y\ne 0\]che è l’equazione di una lemniscata. Per quanto osservato in precedenza, l’equazione completa del luogo cercato è \[{{\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)}^{2}}=\pm 2sxy\quad x,y\ne 0\quad .\]
Nel secondo caso, posto che \(y=mx\) è il fascio delle rette passanti per l’origine del riferimento e che tali rette incontrano la circonferenza \(x^2+y^2-2x-3=0\) nei punti \[A\left( \frac{1+\sqrt{4+3{{m}^{2}}}}{1+{{m}^{2}}},\frac{m\left( 1+\sqrt{4+3{{m}^{2}}} \right)}{1+{{m}^{2}}} \right)\quad \] \[B\left( \frac{1-\sqrt{4+3{{m}^{2}}}}{1+{{m}^{2}}},\frac{m\left( 1-\sqrt{4+3{{m}^{2}}} \right)}{1+{{m}^{2}}} \right)\] si ha per \(AB\) il punto medio \(C\) di coordinate \[C\left( \frac{1}{1+{{m}^{2}}},\frac{m}{1+{{m}^{2}}} \right)\]per cui, sommando i quadrati delle coordinate di \(C\): \[{{x}^{2}}+{{y}^{2}}=\frac{1}{1+{{m}^{2}}}\to {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=x\to {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-x=0\]
equazione che rappresenta la circonferenza di centro \((1/2,0)\) e raggio \(1/2\), compreso il punto \(O(0,0)\), che si ottiene considerando anche la corda \(AB\) appartenente all’asse \(y\), corrispondente a \(m\to \infty \). 
Nel terzo caso, posto \(C\left( 0,k \right)\) un generico punto dell’asse \(y\), il fascio di circonferenze tangenti all’asse \(x\) in \(O(0,0)\) ha equazione \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2ky=0\), mentre la retta \(r\) passante per \(C\) e per \(A(a,0)\), con \(a\ne 0\), ha equazione \(y=-\frac{k}{a}x+k\), per cui gli estremi \(B\) e \(D\) di un diametro della circonferenza appartenente a \(r\) hanno coordinate \[x=\pm \frac{a\left| k \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{k}^{2}}}}\quad \quad y=k\mp \frac{k\left| k \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{k}^{2}}}}\] da cui, elevando al quadrato \(x\) e utilizzando l’uguaglianza \(k=\frac{ay}{a-x}\) (si osservi che \(x\ne a\) per ogni \(k\in \mathbb{R}\)): \[{{x}^{2}}=\frac{{{a}^{2}}{{y}^{2}}}{{{\left( a-x \right)}^{2}}+{{y}^{2}}}\to \left( a+x \right){{y}^{2}}=\left( a-x \right){{x}^{2}}\quad \quad a\ne x\] che è l’equazione di una curva detta strofoide retta.
Massimo Bergamini
