Ricevo da Vincenzo la seguente domanda:Buongiorno Professore, sono alle prese con un quesito che recita così: "Dimostra che il grafico della funzione \(y=x^5+x^3+1\) interseca l'asse \(x\) in un solo punto." Le mie difficoltà consistono nel fatto che applicando la soluzione proposta nell'esercizio guida dovrei trovare che la derivata prima della funzione non si annulla mai, invece come può verificare si annulla in \(x=0\). Dunque non riesco ad applicare il Teorema di Rolle per risolverlo. Le chiedo pertanto il suo prezioso aiuto. La ringrazio infinitamenteGli rispondo così:Caro Vincenzo,si tratta in effetti di ricorrere al corollario del teorema di Langrange (non tanto del teorema di Rolle...) che ci permette di affermare che una funzione \(f(x)\) che sia continua in un intervallo chiuso \(I\), derivabile almeno nei punti interni a \(I\) e in tali punti abbia derivata di segno sempre positivo/negativo, allora tale funzione è strettamente monotona in senso crescente/decrescente in \(I\); se inoltre la funzione assume valori di segno opposto negli estremi di \(I\), esiste uno ed un solo punto interno ad \(I\) in cui sia \(f(x)=0\) (condizione sufficiente di unicità dello zero di una funzione), cioè uno e un solo punto in cui il grafico di \(f(x)\) interseca l’asse \(x\). Se consideri il dominio della funzione polinomiale \(f(x)=x^5+x^3+1\), cioè \(\mathbb{R}\), come cosituito dai due intervalli \({{\mathbb{R}}^{-}}=\left] -\infty ,0 \right]\) e \({{\mathbb{R}}^{+}}=\left[ 0,+\infty \right[\), puoi dimostrare che \(f(x)\) si annulla una sola volta in \({{\mathbb{R}}^{-}}\) mentre non si annulla mai in \({{\mathbb{R}}^{+}}\), e questo dimostra la tesi. Infatti, poiché \(\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=-\infty\), per il teorema della permanenza del segno esiste un \(m<0\) tale che per ogni \(x\le m\) si ha \(f(x)<0\), quindi non esistono zeri per \(f(x)\) nell’intervallo \(\left] -\infty ,m \right[\), mentre nell’intervallo \(\left[ m,0 \right]\) sono soddisfatte le seguenti condizioni:a) \(f(m)<0,f(0)=1>0\);b) \(f(x)\) continua in \(\left[ m,0 \right]\), derivabile in \(\left] m,0 \right[\); c) \(f'\left( x \right)=5{{x}^{4}}+3{{x}^{2}}>0\quad \forall x\in \left] m,0 \right[\)e questo implica l’esistenza e l’unicità di uno zero per \(f(x)\) nell’intervallo \({{\mathbb{R}}^{-}}=\left] -\infty ,0 \right]\).Poiché in modo analogo possiamo dire che, essendo pure \(f'\left( x \right)>0\quad \forall x>0\), allora \(f(x)\) è monotona strettamente crescente in ogni ogni intervallo \(\left[ 0,M \right]\), qualunque sia \(M>0\), e quindi \(f(x)\) è monotona strettamente crescente in tutto \({{\mathbb{R}}^{+}}=\left[ 0,+\infty \right[\); dal momento che \(f(0)=1>0\), non è possibile che sia \(f(x)=0\) per nessun valore di \(x>0\), in quanto ciò comporterebbe una decrescita di \(f(x)\). Massimo Bergamini
