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L'esperto di matematica

Un limite

Un limite proposto da Paola: \[\underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sin \left( {{x}^{2}}-3x \right)}{\left( x-3 \right)\left( x-1 \right)}\quad .\]
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Ricevo da Paola la seguente domanda:   Gentilissimo Professore, mi può aiutare a calcolare quest o limite (n.309, p.1528 Matematica blu 2.0)?         \[\underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sin \left( {{x}^{2}}-3x \right)}{\left( x-3 \right)\left( x-1 \right)}\quad .\] Grazie.   Le rispondo così:   Cara Paola, moltiplichiamo e dividiamo per \(x\) la funzione e consideriamo il limite del prodotto: \[\underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,\frac{x\sin \left( {{x}^{2}}-3x \right)}{\left( {{x}^{2}}-3x \right)\left( x-1 \right)}=\underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sin \left( {{x}^{2}}-3x \right)}{\left( {{x}^{2}}-3x \right)}\cdot \underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,\frac{x}{\left( x-1 \right)}=\frac{3}{2}\] essendo possibile pensare al primo fattore come ad una funzione ottenuta componendo due funzioni (continue), per cui \[\underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sin \left( {{x}^{2}}-3x \right)}{\left( {{x}^{2}}-3x \right)}=\underset{t\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sin t}{t}=1\quad .\] Massimo Bergamini

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