Paola ripropone uno dei quesiti della prova di matematica dell'ultimo Esame di Stato:
“Si stabilisca per quali valori reali di \(a\) e \(b\), si ha: \(\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{a+bx}-2}{x}=1\)”
Ricevo da Paola la seguente domanda:Gentilissimo Professore, ho provato a risolvere il quesito \(10\) della prova di matematica dell'Esame di Stato PNI 2014 (“Si stabilisca per quali valori reali di \(a\) e \(b\), si ha: \(\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{a+bx}-2}{x}=1\)”) senza applicare il teorema di De l'Hopital. Ho "razionalizzato" il numeratore, e ottenuto \(a+bx-4\); "si vede" che per verificare il limite \(a-4\) deve essere \(0\), ma non so spiegarlo. Mi può aiutare per favore? Grazie.Le rispondo così:Cara Paola,effettivamente la “razionalizzazione” fornisce il seguente \[\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{a+bx}-2}{x}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{a+bx-4}{x\left( \sqrt{a+bx}+2 \right)}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{a+bx-4}{x}\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{\sqrt{a+bx}+2}=\]\[=\frac{1}{\sqrt{a}+2}\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{a+bx-4}{x}\] e poiché \(\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{a+bx-4}{x}\) può essere un numero, e non infinito, solamente se\[\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left( a+bx-4 \right)=0\to a-4=0\to a=4\] si ha che \(a=4\) è condizione necessaria (non sufficiente!) affinchè si abbia \(\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{a+bx}-2}{x}=1\). Dopodichè si ha:\[\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{4+bx}-2}{x}=\frac{1}{4}\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{4+bx-4}{x}=\frac{1}{4}\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{bx}{x}=\frac{b}{4}\]da cui facilmente si deduce che \[\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{a+bx}-2}{x}=1\leftrightarrow a=4\wedge b=4\quad .\]Massimo Bergamini
